При распространении звуковых волн в средах с повышенной амплитудой колебаний линейное приближение, лежащее в основе классической акустики, становится недостаточным. Возникают нелинейные эффекты, связанные с тем, что параметры среды (давление, плотность, скорость звука) изменяются в процессе распространения волны, а сама волна влияет на свойства среды, в которой распространяется. Это приводит к сложному поведению звуковых волн, включая деформацию формы, генерацию гармоник, образование ударных волн и другие явления.
Классическая модель, описывающая распространение волн, основывается на линейном приближении уравнений движения и состояния. Однако при больших амплитудах необходимо учитывать высокие порядки в разложении функций, что приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям акустики.
Одним из ключевых нелинейных эффектов является искажение формы волны при её распространении. В линейной теории фронт синусоидальной волны сохраняет свою форму. Однако при больших амплитудах скорость распространения зависит от давления, и максимум волны (область повышенного давления) движется быстрее, чем минимум.
Это приводит к сжатию переднего фронта и растяжению заднего, что постепенно превращает синусоиду в пилу и, в пределе, в ударную волну. Формирование ударной волны сопровождается резким скачком давления, плотности и скорости частиц.
Критическая длина образования ударной волны Ls определяется соотношением:
$$ L_s = \frac{\lambda}{\beta M} $$
где:
В процессе нелинейной деформации волны наблюдается генерация гармоник — появление в спектре колебаний частот, кратных основной. Если начальный сигнал был моночастотным, например sin (ωt), то в результате нелинейных процессов формируются компоненты 2ω, 3ω и т.д.
Этот эффект широко используется в практике — в частности, в гармонической ультразвуковой визуализации, где принимается сигнал на удвоенной частоте, менее чувствительный к искажениям и шумам.
Для описания распространения сильно нелинейной звуковой волны в жидкости используется уравнение Вестаервельта:
$$ \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 p = \delta \frac{\partial^3 p}{\partial t^3} + \frac{\beta}{\rho_0 c^2} \frac{\partial^2 p^2}{\partial t^2} $$
где:
Это уравнение учитывает одновременно эффекты диссипации и нелинейности. Оно используется для моделирования процессов в медицинской ультразвуковой терапии, литотрипсии, неразрушающем контроле.
Для количественной оценки выраженности нелинейных эффектов используется параметр нелинейности β, определяемый как:
$$ \beta = 1 + \frac{B}{2A} $$
где:
Для различных сред:
Чем выше значение β, тем сильнее выражены нелинейные эффекты при той же амплитуде волны.
Нелинейность приводит также к самофокусировке акустических пучков. При достаточно высокой амплитуде, пучок звука может сужаться под действием нелинейных эффектов, формируя локализованную зону высокой интенсивности. Это используется в терапии высокоинтенсивным сфокусированным ультразвуком (HIFU).
Другой значимый нелинейный эффект — кавиатация, возникающая при высокоинтенсивном ультразвуковом облучении жидкости. В области пониженного давления формируются микропузырьки, которые затем схлопываются с выделением большого количества энергии. Этот процесс — крайне нелинейный, сопровождающийся ударными волнами и световым излучением (сонолюминесценция).
В нелинейной среде две звуковые волны могут взаимодействовать, формируя суммарные и разностные частоты. Это так называемый параметрический эффект. Например, при наличии двух волн частот f1 и f2, в среде формируются дополнительные волны с частотами f1 ± f2, а также кратные гармоники.
Пример практического использования — параметрические громкоговорители, генерирующие высокочастотный ультразвук с амплитудной модуляцией. Благодаря нелинейности воздуха происходит демодуляция и формирование слышимого сигнала на расстоянии.
В сильно нелинейной среде наблюдается расширение спектра — изначально узкополосный сигнал приобретает широкий спектр, включая множество гармоник. Однако при наличии механизмов дисперсии возможна компенсация нелинейных эффектов, что приводит к формированию солитонов — устойчивых волновых пакетов, сохраняющих форму при распространении.
Акустические солитоны изучаются в контексте бурно протекающих процессов в плазме, геофизике и твердотельной акустике, а также в биоакустике.
В твёрдых телах (особенно в кристаллах и металлических структурах) нелинейность может быть ещё более выраженной за счёт аномалий модулей упругости, микротрещин и контактов. Это приводит к таким явлениям, как:
Подобные явления активно используются в нелинейной ультразвуковой диагностике для выявления микроповреждений конструкционных материалов.
В нелинейной акустике энергия распределяется иначе, чем в линейной. Генерация гармоник означает, что энергия перемещается в сторону более высоких частот, а образование ударной волны сопровождается локальной концентрацией энергии. Это усиливает нагрев среды, может вызывать химические реакции (сонолиз), разрушение тканей (в медицине) или воздействие на объекты в дистанционной акустике.
Хотя нелинейность приводит к усилению амплитуды и генерации новых частот, вязкость среды и рассеяние накладывают ограничения. Вязкость способствует затуханию гармоник, особенно высокочастотных. Это приводит к формированию стационарного спектра, где дальнейшее усиление высоких гармоник компенсируется их поглощением.
Анализ нелинейных акустических процессов требует применения специализированных математических подходов:
В условиях сильной нелинейности приближённые аналитические решения часто невозможны, поэтому активно используется численное моделирование на суперкомпьютерах, в том числе с учётом трёхмерности и неоднородности среды.
Понимание и учет нелинейных эффектов имеют критическое значение в самых различных областях:
Развитие теории нелинейных волн позволяет создавать высокоэффективные источники и приёмники, оптимизировать диагностику, прогнозировать экстремальные явления и управлять акустическим воздействием на вещество.