В рамках классической линейной акустики считается, что амплитуда звуковых колебаний достаточно мала, чтобы можно было пренебречь её влиянием на параметры среды. Однако при увеличении интенсивности звука, особенно в высокоамплитудных волнах, например, при взрывах, ударных волнах, ультразвуковой терапии, встает необходимость учитывать нелинейность среды. В таких условиях соотношения между давлением, плотностью и скоростью колебаний становятся нелинейными.
Нелинейные эффекты проявляются тогда, когда переменные, описывающие звук (давление, плотность, скорость), имеют такие амплитуды, что члены второго и более высоких порядков в разложениях уравнений движения становятся значимыми. Эти эффекты нарушают принцип суперпозиции, вызывают деформацию формы волны, генерацию гармоник и даже образование ударных волн.
Исходной точкой является система уравнений гидродинамики: — уравнение непрерывности, — уравнение Эйлера, — уравнение состояния среды.
Для сжимаемой среды с учетом слабой нелинейности и при использовании переменных в форме малых возмущений:
получают систему нелинейных уравнений. Эти уравнения позволяют получить одномерное нелинейное волновое уравнение, например, в форме уравнения Вестервельта, уравнения Бюргерса или уравнения Кузнецова — в зависимости от предположений и степени аппроксимации.
Одним из типичных уравнений для одномерного нелинейного распространения звука является:
$$ \frac{\partial p}{\partial t} + c_0 \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\beta}{\rho_0 c_0} p \frac{\partial p}{\partial x} = \delta \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} $$
где:
Это уравнение Бюргерса, учитывающее как нелинейность (второй член справа), так и диссипацию (третий член).
Коэффициент нелинейности β характеризует степень отклонения от линейности. Он определяется из разложения давления по плотности в виде:
$$ p = p_0 + c_0^2 \rho' + \frac{B}{2A} \frac{(\rho')^2}{\rho_0} + \dots $$
где B/A — параметр, связанный с β следующим образом:
$$ \beta = 1 + \frac{B}{2A} $$
Для воздуха при нормальных условиях β ≈ 1.2, для воды — около 3.5, а для биологических тканей может достигать значений 6 и выше. Большие значения β ведут к более выраженным нелинейным эффектам при меньших амплитудах.
Одним из ярких проявлений нелинейности является самоусиление волны: максимумы давления в звуковой волне распространяются быстрее, чем минимумы. Это приводит к сжатию фронта волны и образованию ударной волны с практически вертикальным фронтом. Такое поведение описывается уравнением Бюргерса при неограниченном увеличении амплитуды.
Формально, если игнорировать диссипацию, то сжатие фронта приведет к бесконечно большой крутизне за конечное время. Это называется формированием сингулярности в решении. В реальности этот процесс ограничивается вязкостью и теплопроводностью среды, приводящими к рассеянию и ограничению крутизны.
Нелинейность приводит к тому, что синусоидальная волна постепенно теряет свою форму и приобретает гармонические составляющие. Это явление особенно заметно при ультразвуковом излучении высокой интенсивности, когда акустическая волна, изначально синусоидальная, превращается в форму, близкую к пилообразной или треугольной.
В спектре такой волны появляются вторые, третьи и более высокие гармоники, амплитуды которых определяются уровнем нелинейности. Этот эффект используется в медицинской диагностике — в частности, в гармонической ультрасонографии, где вторичные гармоники дают более четкое изображение тканей.
При наложении двух волн с близкими частотами в нелинейной среде возможно появление разностных и суммарных частот. Это лежит в основе параметрических источников звука, где высокочастотное модулированное излучение (несущая частота) преобразуется в низкочастотный направленный пучок благодаря нелинейному взаимодействию.
Например, при генерации сигналов частот f1 и f2, в результате нелинейного взаимодействия в среде появляются составляющие на частотах:
f1 + f2, f1 − f2, 2f1, 2f2, и т.д.
Этот эффект применяется в подводной акустике и в генераторах направленного звука в воздухе.
В условиях экстремально высоких амплитуд — таких, что создается пониженное давление, превышающее напряжение насыщения жидкости, — возникают кавитационные пузырьки. Это явление сопровождается высокими локальными температурами и давлениями при схлопывании пузырьков. Кавитация — нелинейный эффект, играющий важную роль в:
Кавитация приводит к существенному нелинейному и нелокальному поведению акустической среды и требует рассмотрения с учетом динамики фазовых переходов и границ раздела.
При воздействии высокоинтенсивного звукового поля на объект в среде (частицу, каплю, мембрану) возникает постоянная составляющая давления, называемая радиационным давлением. Этот эффект не может быть объяснен в рамках линейной теории и требует учета временного усреднения по нелинейным терминам.
Радиационное давление используется в акустических ловушках, акустофорезе, манипулировании частицами. Оно также участвует в переносе импульса и энергии в среде в макроскопических масштабах.
В современной практике нелинейные эффекты акустики находят широкое применение:
Такие применения стали возможны благодаря точному учету нелинейных процессов и разработке математических моделей их описания.
Для анализа нелинейных явлений используются как аналитические методы (асимптотические разложения, метод характеристик), так и численные подходы:
Реалистичное моделирование требует учета нелинейности одновременно с вязкостью, теплопроводностью, поглощением, а в случае биомедицинских задач — и с анизотропией, рассеянием, сложной геометрией среды.
Нелинейная акустика представляет собой сложную, но необходимую область исследования звуковых волн в реальных условиях. Именно учет нелинейных эффектов позволяет описывать и использовать звуковые процессы с высокой интенсивностью, где классическая линейная теория теряет свою применимость.