Объемные и поверхностные волны

Классификация акустических волн в твердых телах

Акустические волны в твердых телах подразделяются на объемные (или внутренние) и поверхностные в зависимости от характера распространения и локализации колебательного движения. Объемные волны распространяются по всему объему среды, а поверхностные — вдоль поверхности с убыванием амплитуды вглубь.

Объемные волны: продольные и поперечные

В изотропных твердых телах возможны два типа объемных волн:

Продольные (компрессионные) волны Частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. Они аналогичны звуковым волнам в газах и жидкостях. Скорость таких волн определяется выражением:

$$ v_p = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3} \mu}{\rho}} $$

где K — модуль объемного сжатия, μ — модуль сдвига, ρ — плотность материала.
Поперечные (сдвиговые) волны Частицы совершают колебания перпендикулярно направлению распространения волны. Такие волны возможны только в твердых телах, где существует сопротивление сдвигу. Их скорость:

$$ v_s = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} $$

Поскольку μ > 0, то поперечные волны не могут распространяться в жидкостях и газах, где μ = 0.

Отражение и преломление объемных волн

При встрече с границей между двумя средами различной акустической жесткости объемные волны претерпевают отражение и преломление, сопровождающееся возможным преобразованием продольных волн в поперечные и наоборот. Этот эффект учитывается при решении уравнений граничных условий, где обеспечивается непрерывность касательных и нормальных компонент напряжения и смещения.

Для каждой падающей волны можно определить углы отражения и преломления по аналогии с законом Снеллиуса, однако в твердом теле это правило распространяется на каждую компоненту — как продольную, так и поперечную:

$$ \frac{\sin \theta_p}{v_p} = \frac{\sin \theta_s}{v_s} $$

Поверхностные волны: основные разновидности

Поверхностные волны — это волны, распространяющиеся вдоль границы раздела двух сред (чаще всего твердое тело–воздух или твердое тело–вакуум), при этом амплитуда колебаний убывает экспоненциально с удалением от поверхности.

Волны Рэлея Эти волны существуют на свободной поверхности изотропного упругого твердого тела. Частицы описывают эллипсы в вертикальной плоскости, перпендикулярной к направлению распространения. Их скорость:

v_R ≈ 0.9v_s

Волны Рэлея играют важную роль в сейсмологии, поскольку несут основную долю энергии при поверхностных землетрясениях.
Волны Лява Существуют в условиях слабо анизотропных или слоистых сред. Движение частиц чисто горизонтальное и перпендикулярно направлению распространения. Волны Лява наблюдаются при наличии поверхностного слоя с пониженной скоростью сдвиговых волн.
Волны Стоунли — Шоллэмаха Распространяются вдоль границы двух твердых тел. Их свойства зависят от акустических контрастов между материалами. При идентичных телах волны Стоунли не возникают. Используются в дефектоскопии и мониторинге состояния сварных соединений.

Математическое описание: уравнения движения

Основой анализа объемных и поверхностных волн служит система уравнений динамической теории упругости. Для изотропной среды без внешних сил:

$$ \rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \sum_j \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} $$

Напряжения выражаются через тензор деформации с использованием обобщённого закона Гука:

σ_ij = λδ_ij∇ ⋅ u⃗ + 2με_ij

где $\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$ — тензор деформации, λ и μ — коэффициенты Ламе.

Решения уравнений в виде плоских волн:

u⃗(r⃗, t) = A⃗e^{i(k⃗ ⋅ r⃗ − ωt)}

при подстановке в уравнение движения приводят к дисперсионным соотношениям, определяющим условия существования различных типов волн.

Дисперсионные свойства поверхностных волн

В отличие от объемных волн, для которых в линейной теории в изотропной среде отсутствует дисперсия (фаза и группа совпадают), поверхностные волны могут проявлять дисперсионный характер. Особенно ярко дисперсия выражена в волнах, распространяющихся в слоистых или анизотропных структурах.

Пример — волна Лява в слоистой среде, где дисперсионное соотношение записывается как:

$$ \tan(k_s h) = \frac{2 k_s k_b}{k_s^2 - k_b^2} $$

где k_s, k_b — волновые числа в верхнем слое и подложке, h — толщина слоя. Такие дисперсионные зависимости определяют спектр мод и фазовую скорость для каждой моды.

Роль объемных и поверхностных волн в приложениях

Сейсмология: основное средство исследования внутреннего строения Земли. Волны Рэлея и Лява регистрируются на значительном расстоянии от эпицентра и несут информацию о стратификации земной коры и мантии.
Неразрушающий контроль: ультразвуковые объемные волны позволяют выявлять внутренние дефекты в материалах, а поверхностные волны применяются для диагностики трещин и нарушений на поверхности.
Акустоэлектроника: поверхностные акустические волны используются в фильтрах, резонаторах, сенсорах. Благодаря высокой чувствительности к изменениям свойств поверхности их активно применяют в газоанализаторах и биосенсорах.
Геофизика и экология: при зондировании подповерхностных слоев, инженерной геологии и мониторинге опасных объектов.

Особенности распространения в анизотропных и неоднородных средах

В анизотропных телах (например, в кристаллах) скорость акустических волн зависит от направления распространения. Поверхностные волны в таких средах описываются более сложными уравнениями, и часто требуется численное моделирование. В сильно неоднородных средах возникают дополнительные явления: многолучевость, рассеяние, затухание, модовая конверсия.

Расчёт поверхностных волн в подобных структурах требует решения краевой задачи с учётом реального профиля упругих параметров. В таких случаях вводят понятие эффективных параметров среды или применяют методы геометрической акустики.

Связь с нелинейными эффектами

При высоких амплитудах объемные и поверхностные волны становятся нелинейными. Это проявляется в виде:

искажения формы волны;
генерации гармоник;
образования ударных фронтов;
самофокусировки и образования солитонов.

Особенно чувствительны к нелинейным эффектам поверхностные волны в твердых телах, где локализация энергии приводит к быстрому накоплению искажений формы. Эти эффекты используются в акустоиндуцированных технологиях обработки материалов и в исследовании прочности контактных соединений.

Затухание и рассеяние

Затухание объемных волн связано как с внутренними потерями (вязкоупругость), так и с рассеянием на неоднородностях. Для поверхностных волн дополнительный вклад вносит взаимодействие с поверхностными дефектами, шероховатостью, слоем адсорбированных молекул. Коэффициент затухания α зависит от частоты:

α ∼ ωⁿ

где n = 1 для вязких потерь и n = 2–4 при рассеянии.

В практических задачах контроль затухания позволяет оценивать состояние среды, что особенно важно в мониторинге деградации материалов и конструкций.