Принцип Гюйгенса–Френеля утверждает, что каждая точка волнового фронта в любой момент времени может рассматриваться как источник вторичных сферических волн, а огибающая этих вторичных волн в следующий момент времени формирует новый волновой фронт. В акустике это означает, что распространение звука можно описывать как суперпозицию множества элементарных волн, возникающих из каждого участка фронта исходной звуковой волны.
Этот принцип имеет фундаментальное значение для объяснения явлений дифракции и интерференции звуковых волн, а также для построения математических моделей распространения звука в сложных условиях, включая препятствия, отверстия и неоднородные среды.
Классическая формулировка принципа Гюйгенса (1678) дополняется вкладом Френеля (начало XIX века), который ввёл понятие интерференции между вторичными волнами. Таким образом, принцип Гюйгенса–Френеля стал физическим и математическим основанием волновой оптики и, по аналогии, волновой теории звука.
С точки зрения акустики, каждое колеблющееся тело (например, мембрана громкоговорителя) создаёт звуковую волну, фронт которой можно рассматривать как совокупность бесконечного множества точечных источников. Распределение амплитуд и фаз вторичных волн определяет общую картину распространения звука.
Формальное выражение принципа основано на интегральном представлении волнового уравнения. Пусть волна распространяется в пространстве, и необходимо определить давление p(P) в точке наблюдения P, находящейся на расстоянии от волнового фронта. Тогда:
$$ p(P) = \iint_S \left[ K(\theta) \cdot \frac{e^{ikr}}{r} \cdot p(Q) \right] \, dS $$
где:
Функция K(θ) описывает затухание и фазовые сдвиги вторичных волн, которые обусловлены интерференцией.
Одним из ключевых применений принципа в акустике является объяснение дифракции — огибания звуком препятствий и проникновения в области геометрической тени. Когда звуковая волна встречает препятствие (например, кромку стены), каждая точка кромки становится источником вторичных волн. Эти волны интерферируют между собой, создавая звуковое поле за препятствием.
Так, при прохождении звуковой волны через узкое отверстие или щель, образуется характерная картина распределения интенсивности — с чередующимися зонами усиления и ослабления звука. Это подтверждается как теоретическими расчетами, так и экспериментальными наблюдениями.
Для количественного анализа вклада разных участков волнового фронта в результирующее звуковое давление в заданной точке используют понятие зон Френеля. Пространство перед точкой наблюдения разбивается на концентрические кольцевые участки (или зоны), откуда волны приходят с разными фазами. Вклад от каждой последующей зоны ослабляется из-за интерференции, поэтому часто достаточно учитывать первые несколько зон.
Зоны Френеля особенно важны в практической акустике — например, при проектировании звуковых линз, решёток, а также в анализе акустических теней и направленности источников.
В акустических лабораториях экспериментально подтверждается действие принципа Гюйгенса–Френеля при помощи различных установок:
Ключевым следствием принципа Гюйгенса–Френеля является возможность описания распространения звука как линейной суперпозиции элементарных волн. Это лежит в основе моделирования звуковых полей, особенно в геометрической акустике, в методах трассировки лучей и численного расчёта полей в сложных геометриях.
Даже при рассмотрении излучения от сложных объектов (например, музыкальных инструментов или многофазных источников в воздухе) применяется этот подход: вся поверхность излучателя рассматривается как совокупность вторичных источников, и поле в любой точке вычисляется как сумма их вкладов.
Хотя принцип Гюйгенса–Френеля хорошо описывает явления в пределах линейной акустики, он не охватывает:
Для учёта этих факторов используется обобщённый подход, включающий в себя более сложные модели, такие как интегральные уравнения Кирхгофа, численные методы (например, BEM или FEM), а также эмпирические поправки.
Принцип Гюйгенса–Френеля широко применяется в инженерной практике:
Во всех этих приложениях принцип позволяет свести сложную задачу распространения волны к анализу вклада вторичных источников, что значительно упрощает расчёты и делает возможным использование численных и графических методов.
Принцип Гюйгенса–Френеля тесно связан с другими фундаментальными концепциями волновой физики:
В акустике, как и в оптике, использование принципа Гюйгенса–Френеля позволяет наглядно и точно описывать явления, кажущиеся на первый взгляд исключительно сложными.