Продольные и поперечные волны

Механические волны — это форма распространения возмущения в упругой среде, сопровождаемая переносом энергии без переноса вещества. В контексте акустики под волнами подразумеваются преимущественно упругие волны, распространяющиеся в твердых телах, жидкостях и газах. Эти волны могут быть разделены по направлению колебаний частиц среды относительно направления распространения волны на продольные и поперечные.

Продольные волны

Продольные волны характеризуются тем, что смещение частиц среды происходит вдоль направления распространения волны. Это означает, что вектора смещения и распространения совпадают по направлению.

Примеры:

  • Звуковые волны в воздухе — классический пример продольной волны. Колебания молекул воздуха происходят в том же направлении, в котором распространяется звуковая волна.
  • Ультразвук в жидкостях и газах — также является продольным по своей природе.

Механизм распространения:

Возмущение вызывает чередование участков сжатия и разрежения. Давление и плотность в среде колеблются в фазе с механическими колебаниями частиц.

Уравнение продольной волны:

$$ \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} $$

где:

  • ξ(x, t) — смещение частиц,
  • v — скорость распространения волны,
  • x — координата вдоль направления волны,
  • t — время.

Поперечные волны

Поперечные волны возникают, когда колебания частиц среды происходят перпендикулярно направлению распространения волны.

Примеры:

  • Волны на струнах и в канатах — классический механический аналог.
  • Упругие волны в твердых телах — поперечные волны возможны только в твердых телах, обладающих сдвиговой упругостью.

Особенности:

Поперечные волны не могут распространяться в жидкостях и газах, так как последние не обладают сопротивлением к сдвигу. Поэтому в акустике жидкостей и газов поперечные волны отсутствуют.

Уравнение поперечной волны:

$$ \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} = v_t^2 \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} $$

где:

  • η(x, t) — поперечное смещение частиц,
  • vt — скорость поперечной волны,
  • другие обозначения аналогичны продольным.

Скорости распространения и параметры среды

Скорость волны определяется физическими свойствами среды. Для продольных волн:

$$ v_p = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}G}{\rho}} $$

где:

  • K — модуль объемного сжатия,
  • G — модуль сдвига,
  • ρ — плотность среды.

Для поперечных волн:

$$ v_t = \sqrt{\frac{G}{\rho}} $$

Из этих выражений следует, что:

  • в жидкостях и газах G = 0, поэтому поперечные волны не распространяются,
  • в твердых телах обе волны могут сосуществовать, но имеют разные скорости.

Поляризация и направления колебаний

Поляризация волны определяется направлением колебаний. Продольные волны являются неполяризованными, так как направление колебаний совпадает с направлением распространения и не имеет дополнительных степеней свободы.

Поперечные волны обладают поляризацией, поскольку колебания могут происходить в любом направлении, перпендикулярном направлению распространения. В трёхмерном пространстве возможна линейная, круговая и эллиптическая поляризация.

Поведение на границах и отражение

При переходе волны с одной среды в другую или на границе внутри одной среды возникают явления отражения, преломления и преобразования типов волн.

На примере твердого тела:

  • Продольная волна, достигнув границы, может породить отражённую продольную и поперечную волну.
  • Поперечная волна также может порождать оба типа отражённых волн, в зависимости от угла падения и параметров границы.

Это поведение объясняется условиями сопряжения на границе: непрерывность смещений и напряжений.

Энергетика волн

Плотность энергии волны включает кинетическую и потенциальную составляющие. Для гармонических волн средней мощностью потока энергии (интенсивностью) называется:

$$ I = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 v $$

где:

  • A — амплитуда колебаний,
  • ω — круговая частота,
  • v — скорость распространения.

Энергия в поперечных и продольных волнах передаётся с разной эффективностью, что важно при анализе распространения звука в различных материалах.

Практические аспекты и наблюдение

В сейсмологии различие между продольными (P-волнами) и поперечными (S-волнами) используется для анализа структуры Земли:

  • P-волны распространяются как в жидком, так и в твёрдом ядре,
  • S-волны не проходят через жидкую внешнюю часть ядра, что служит доказательством её жидкого состояния.

В неразрушающем контроле ультразвуковые методы используют как продольные, так и поперечные волны для диагностики материалов:

  • Продольные волны — для глубинного зондирования,
  • Поперечные — для выявления трещин и дефектов, ориентированных под углом.

Волны в неоднородных и анизотропных средах

В сложных материалах (композиты, кристаллы) направление распространения волны может не совпадать с направлением фронта волны. Это приводит к явлениям двойного лучепреломления, разветвления волн и анизотропии скорости.

Для таких случаев вводятся тензорные уравнения движения, отражающие сложную связь между напряжением и деформацией.

Сверхзвуковое распространение и дисперсия

В идеализированных моделях скорость волн постоянна, однако в реальных средах возникает дисперсия, при которой скорость зависит от частоты. Особенно это проявляется в средах с внутренним трением или структурной неоднородностью.

Сверхзвуковое распространение волн возможно в материалах, где скорость звука превышает скорость распространения в воздухе. В этом случае возникает ударная волна, имеющая отличные свойства от линейных продольных волн.

Оглавление