Рефракция и отражение волн

Отражение и преломление акустических волн

Когда акустическая волна достигает границы раздела двух сред с различными акустическими свойствами (плотность, скорость звука), происходят два ключевых явления: отражение и преломление (рефракция). Эти процессы подчиняются аналогам законов геометрической оптики, но имеют особенности, обусловленные природой звуковых волн как механических колебаний.

Пусть волна падает под углом на границу между двумя средами. На этой границе часть волны отражается обратно в первую среду, а часть проходит во вторую, изменяя направление и скорость распространения. Взаимосвязь между углами падения, отражения и преломления описывается законами отражения и преломления.

Закон отражения

Угол отражения равен углу падения:

θ_отр = θ_пад

Здесь:

θ_пад — угол между направлением падающей волны и нормалью к границе,
θ_отр — угол между направлением отражённой волны и той же нормалью.

Этот закон действует независимо от физических свойств среды.

Закон преломления (закон Снеллиуса)

Пусть звуковая волна переходит из среды 1 в среду 2. Тогда справедливо:

$$ \frac{\sin \theta_1}{c_1} = \frac{\sin \theta_2}{c_2} $$

где:

θ₁ — угол падения,
θ₂ — угол преломления,
c₁ и c₂ — скорости звука в первой и второй средах соответственно.

Этот закон выводится из условия непрерывности фазового фронта на границе раздела.

Если c₂ < c₁, то волна преломляется к нормали, если же c₂ > c₁, то волна преломляется от нормали.

Коэффициенты отражения и преломления

Для количественного описания процессов используют коэффициенты отражения и пропускания (преломления), зависящие от акустических импедансов сред:

Z = ρc

где:

Z — акустический импеданс,
ρ — плотность среды,
c — скорость звука.

Для нормального падения:

$$ R = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}, \quad T = \frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1} $$

где:

R — коэффициент отражения по амплитуде,
T — коэффициент пропускания по амплитуде.

Для интенсивности (энергии) волны:

$$ R_I = \left( \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} \right)^2, \quad T_I = \frac{4 Z_1 Z_2}{(Z_1 + Z_2)^2} $$

Коэффициенты R_I и T_I удовлетворяют закону сохранения энергии:

R_I + T_I = 1

Примеры поведения волн на границе

1. Воздух – вода. Акустический импеданс воздуха значительно меньше, чем воды. Следовательно, при переходе волны из воздуха в воду большая часть энергии отражается, и только небольшая часть проникает в воду.

2. Сталь – воздух. Здесь разность импедансов ещё более выражена. Волны практически полностью отражаются от металлической поверхности, что используется в ультразвуковой дефектоскопии.

3. Вода – ткань человека. Акустические импедансы близки, что обеспечивает хорошее прохождение ультразвуковых волн в медицине.

Полное внутреннее отражение

Если звуковая волна распространяется из среды с большей скоростью звука (например, твёрдое тело) в среду с меньшей скоростью (например, воздух), может возникнуть полное внутреннее отражение. Это происходит, если угол падения превышает критический угол:

$$ \theta_{\text{кр}} = \arcsin\left( \frac{c_2}{c_1} \right) $$

При θ > θ_кр преломлённой волны не возникает, вся энергия отражается обратно. Это явление используется, например, в акустических волноводах и медицинской визуализации.

Волны на наклонной границе: косое падение

В случае косого падения волны на границу различие в механических свойствах среды приводит к сложному поведению: возникают продольные и поперечные компоненты волн, особенно в твёрдых телах. Преломление может сопровождаться генерацией нескольких типов волн:

в жидкости — только продольные,
в твёрдых телах — продольные и поперечные.

Возникает конверсия волны, когда, например, падающая продольная волна частично переходит в поперечную при отражении или преломлении. Эти процессы описываются матрицами трансформации волн, учитывающими закон сохранения тангенциальной компоненты волнового вектора и граничные условия смещения и напряжения.

Акустическое линзирование и фокусировка

Если поверхность границы неплоская, а, например, сферическая, возникает фокусировка или рассеяние волн. Это аналогично оптической линзе. Если среда с меньшим импедансом окружает среду с большим, можно получить акустическую линзу, способную фокусировать звуковые волны в определённой точке. Преломление в этом случае подчиняется геометрическим законам, аналогичным фокусным уравнениям.

Акустическая рефракция в неоднородной среде

В реальных физических системах звук часто распространяется в средах, в которых параметры меняются плавно (например, температура или плотность воздуха с высотой). В этом случае происходит плавное искривление траектории распространения волны. Эффект аналогичен атмосферной рефракции света. Направление распространения волны изменяется непрерывно в зависимости от градиента скорости звука.

$$ \frac{d}{ds} \left( c \cdot \vec{n} \right) = \nabla c $$

где n⃗ — единичный вектор в направлении луча, c — скорость звука, s — путь вдоль луча.

Этот подход лежит в основе геометрической акустики, применимой для высокочастотных волн.

Рефракция в атмосфере и гидросфере

Атмосферная рефракция. Скорость звука в воздухе зависит от температуры и давления. С понижением температуры на высоте волна может искривляться вниз, создавая эффект звуковой трубы. Это объясняет дальность слышимости звуков в некоторых метеоусловиях.

Гидроакустическая рефракция. В океанах звук распространяется по изогнутым траекториям в зависимости от глубины, солёности и температуры. Это явление используется в сонорах и при построении моделей подводной акустики. В результате может образовываться звуковой канал, в котором волны распространяются на большие расстояния с минимальными потерями.

Волны на границах твёрдых тел

В твёрдых телах помимо объемных продольных и поперечных волн появляются поверхностные волны (волны Рэлея) и волны в направляющих структурах (волны Лява). Отражение и преломление в этом случае подчиняются более сложным уравнениям, включающим тензоры напряжений и условия непрерывности механических величин.

На границах между двумя твёрдыми телами возможны резонансные явления, вызванные совпадением фаз различных типов волн. Это используется в нелинейной акустике и в неразрушающем контроле материалов.

Волновые фронты и фронтальные условия

Фронт звуковой волны, падающей на границу, может быть не плоским. В таких случаях анализ проводится на основе характеристических поверхностей и применения граничных условий для поля давления и скорости частиц. Разные участки волнового фронта испытывают различное отклонение, что может приводить к фокусировке или дифракционному рассеянию.

Особое внимание уделяется случаям, когда волна падает на криволинейную или шероховатую поверхность, где необходимо учитывать рассеивающие компоненты, часто моделируемые численно.

Численные методы моделирования отражения и преломления

Современная акустика широко применяет методы конечных элементов (FEM), конечных разностей во времени (FDTD) и геометрической трассировки лучей. Это позволяет моделировать сложные случаи взаимодействия волн с неоднородными, анизотропными и многослойными структурами.

Особую роль играют численные расчёты коэффициентов отражения и преломления для материалов, используемых в медицинской диагностике, архитектурной акустике, акустоэлектронике и др.