Резонатор Гельмгольца представляет собой акустическую систему, способную резонировать на определённой частоте, зависящей от геометрических параметров полости и шейки. Простейшая реализация — это герметичный сосуд (полость) с узким горлышком (шейкой). Классическим примером служит бутылка с узким горлом: при подаче воздушной струи возникает отчетливый резонансный звук.
Резонанс Гельмгольца обусловлен взаимодействием массы воздуха в шейке и сжимаемости воздуха в полости. Воздух в горлышке играет роль инерционного элемента, а сжимаемый воздух внутри полости — роль упругого элемента. Такая система эквивалентна гармоническому осциллятору, подчиняющемуся уравнениям простых колебаний.
Когда внешний звук возбуждает воздух у входа в горлышко, возникает давление, заставляющее воздушную массу в шейке двигаться внутрь полости. Сжимаемый воздух в полости оказывает сопротивление, создавая восстановительную силу, направленную наружу. Воздушная масса в шейке отбрасывается обратно, но по инерции пролетает “нулевое” положение и вновь сжимает воздух — возникает колебательный процесс.
Так как потери в системе малы, особенно при небольших амплитудах и гладкой геометрии, возможен чёткий акустический резонанс — усиление амплитуды колебаний при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой резонатора.
Собственная частота определяется выражением:
$$ f_0 = \frac{c}{2\pi} \sqrt{\frac{A}{V \cdot L_\text{э}}} $$
где:
Эффективная длина определяется как:
Lэ = L + 1.7 ⋅ r
где L — физическая длина шейки, r — радиус отверстия. Добавочный член 1.7 ⋅ r учитывает влияние воздушных масс, колеблющихся вне физической шейки (так называемое энтрайнмент-расширение массы).
Таким образом, резонансная частота зависит от объёма, длины и диаметра шейки, что делает возможным точную настройку резонаторов для заданной частоты.
Как и в любой колебательной системе, резонанс Гельмгольца характеризуется добротностью, отражающей степень затухания колебаний. Добротность Q определяется соотношением:
$$ Q = \frac{2\pi \cdot \text{энергия в резонаторе}}{\text{потери энергии за цикл}} $$
Высокая добротность означает узкую резонансную полосу и сильное усиление вблизи собственной частоты. Потери энергии происходят за счёт вязкого трения, теплопроводности и излучения звуковой энергии наружу. Геометрические параметры горлышка оказывают существенное влияние на величину потерь.
Резонатор Гельмгольца действует как акустический фильтр: он избирательно усиливает звуки с частотой, близкой к f0, и подавляет остальные. Это явление используется в звукотехнике, строительной акустике и архитектуре для поглощения или усиления определённых частот. Частотная характеристика амплитудного отклика имеет форму резонансного пика, максимальная амплитуда которого определяется добротностью.
С точки зрения теории импеданса, резонатор Гельмгольца представляет собой колебательную систему с индуктивным (инерционным) и ёмкостным (упругим) элементами. Импеданс горлышка описывается как:
$$ Z = i\omega \rho \frac{L_\text{э}}{A} $$
а импеданс полости как:
$$ Z = \frac{1}{i\omega \rho c^2} \cdot \frac{1}{V} $$
Где ω = 2πf, ρ — плотность воздуха. Совокупный импеданс определяет, насколько эффективно энергия звуковой волны передаётся в резонатор. На резонансной частоте полная реактивность системы стремится к нулю, что соответствует максимуму передачи энергии и наибольшей амплитуде звуковых колебаний в шейке.
Резонатор Гельмгольца применяется как эффективный звукопоглотитель в архитектурной акустике. Если расположить множество таких резонаторов в стенах или потолке помещения, можно целенаправленно подавлять нежелательные частоты, вызывающие гул или стоячие волны.
Для этого резонаторы изготавливаются так, чтобы их резонансная частота совпадала с проблемной частотой помещения. Поглощение достигается за счёт диссипации энергии в горлышке резонатора (вязкое трение и теплопроводность). Для повышения эффективности часто применяют пористые материалы на внутренней поверхности шейки.
В более сложных конфигурациях возможно использование:
Также возможна реализация неоднородных полостей и разветвлённых шейных структур, что позволяет сформировать несколько резонансных пиков или даже добиться резонансного подавления в широком диапазоне частот.
Резонанс Гельмгольца находит применение в разнообразных областях:
Также резонаторы Гельмгольца широко применяются в газодинамических системах, например, в камерах сгорания газовых турбин, где они служат для стабилизации пульсаций давления и предотвращения акустических колебаний (инстабилитета).
На резонансную частоту влияет не только геометрия, но и параметры окружающей среды: температура, давление, влажность. Повышение температуры приводит к увеличению скорости звука и, соответственно, к увеличению f0. Поэтому при точной настройке резонаторов учитываются условия эксплуатации.
Изменения плотности воздуха также сказываются на массе воздушной пробки, что влечёт за собой сдвиг частоты. Эти зависимости важны при применении резонаторов в прецизионных измерениях или в нестабильных климатических условиях.
Хотя базовая модель резонатора предполагает наличие одного резонансного пика, в реальности возможны высшие моды — колебания, при которых возбуждаются более сложные формы давления внутри полости. Они проявляются при увеличении частоты входного сигнала выше основной частоты. Учет этих мод важен при разработке широкополосных резонансных структур и при численном моделировании.
В случае больших полостей возможна интерференция между отражёнными волнами внутри резонатора, что приводит к дополнительным резонансам и сложной частотной характеристике. Такое поведение анализируется методами волновой акустики и численным моделированием (метод конечных элементов, граничных элементов и др.).