Акустический резонанс в трубах и замкнутых полостях возникает при совпадении собственной частоты колебательной системы с частотой возбуждающей силы. При этом в системе формируются стоячие волны, а амплитуда звукового давления достигает максимума. Конфигурация трубы (открытая, закрытая, резонатор Гельмгольца и др.) определяет характер формируемых мод.
Резонансная частота системы зависит от геометрических размеров, температуры, состава среды, а также граничных условий. Для простоты анализа трубы идеализируют: считают их однородными, тонкостенными, с постоянным сечением, заполненными неподвижным и однородным воздухом.
Открытая труба — труба, у которой обе торцевые поверхности свободны (открыты). На концах таких труб формируются пучности звукового давления (минимум давления, максимум колебательной скорости).
Закрытая с одного конца труба имеет один открытый конец (где пучность скорости) и один закрытый (где формируется узел скорости и максимум давления).
Открытая труба (длина L):
Резонансные частоты (гармоники) задаются выражением:
$$ f_n = \frac{n v}{2L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
Закрытая с одного конца труба (длина L):
Резонансные частоты:
$$ f_n = \frac{(2n - 1) v}{4L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
где v — скорость звука в воздухе (примерно 343 м/с при 20∘C).
Таким образом, в закрытых трубах возникают только нечетные гармоники, а в открытых — все целочисленные.
При определении резонансных частот необходимо учитывать, что открытый конец трубы не является идеальным пучностью. Воздух «выходит» за пределы трубы, создавая эффект удлинения. Это учитывается введением поправки на длину:
Lэфф = L + ΔL
Для одной открытой торцевой поверхности:
ΔL ≈ 0.6r
Для трубы с двумя открытыми концами:
ΔL ≈ 2 ⋅ 0.6r = 1.2r
где r — радиус трубы. Поправка особенно значима в случае коротких труб, например, свистков или органных труб малой длины.
Резонанс в трубах сопровождается образованием стоячих волн — волновых форм, при которых каждая точка среды колеблется с определённой амплитудой, но не происходит переноса энергии вдоль трубы. Для стоячей волны характерны:
В трубах с разными граничными условиями стоячие волны принимают различные конфигурации:
Резонатор Гельмгольца — это акустическая система, представляющая собой замкнутый объем воздуха (полость), соединённый с внешней средой узким горлышком. Пример — бутылка, в которую дуют воздухом, вызывая звучание.
Эта система работает по аналогии с механическим осциллятором: масса воздуха в горлышке колеблется как поршень, а сжимаемый воздух в полости играет роль упругого элемента (пружины).
Резонансная частота определяется формулой:
$$ f = \frac{v}{2\pi} \sqrt{\frac{A}{V L_\text{эф}}} $$
где:
Особенность резонатора Гельмгольца заключается в его узкой полосе пропускания: он избирательно усиливает звуки близкие к своей резонансной частоте, ослабляя остальные. Такие устройства применяются в акустических фильтрах и шумоподавлении.
В замкнутых помещениях (например, концертных залах, студиях звукозаписи) также возникают резонансные моды, определяемые геометрией пространства. Стоячие волны образуются вдоль разных осей (длина, ширина, высота), и каждая мода соответствует определённой комбинации частот и направлений.
Резонансные частоты для прямоугольной полости с размерами Lx, Ly, Lz рассчитываются по формуле:
$$ f_{n_x n_y n_z} = \frac{v}{2} \sqrt{\left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2} $$
где nx, ny, nz ∈ ℕ0 — номера мод по соответствующим направлениям.
Низкочастотные резонансы помещений, особенно моды осевого типа, критически важны для акустической корректности студий и залов. Их неправильная компенсация может привести к «гудению» на определённых частотах.
Музыкальные инструменты: трубы, органные трубы, духовые инструменты (флейта, кларнет, саксофон) реализуют акустический резонанс в трубах. Конфигурация отверстий, длина, форма и материал — всё это влияет на резонансную частоту и спектр обертонов.
Акустическая диагностика: резонансные частоты в полостях организма (например, лёгких, желудка) используются в медицинской диагностике при перкуссии.
Поглощение шума: системы с резонаторами Гельмгольца встраиваются в стены или воздуховоды для локальной фильтрации определённых частот.
Свистки и сирены: короткие трубки с контролируемыми размерами позволяют создавать устойчивый звуковой резонанс при нагнетании воздуха.
Скорость звука v, а значит и резонансные частоты, зависят от температуры воздуха:
v ≈ 331 + 0, 6T (м/с при температуре T ∘C)
Повышение температуры увеличивает скорость звука и соответственно смещает резонансные частоты вверх. То же касается изменения среды: в гелии, например, скорость звука значительно выше, чем в воздухе, и резонанс наступает на более высоких частотах.
Не только длина, но и форма трубы влияет на резонанс. Сужающиеся или расширяющиеся трубы (конусы, рупоры) могут модифицировать волновой фронт и эффективную резонансную частоту. В таких системах сложнее формируется чистая стоячая волна, но можно добиться усиления определённых направлений распространения звука (направленность).
В системах переменного сечения необходимо учитывать распределение импеданса вдоль оси трубы и влияние отражений на границах участков с разной площадью поперечного сечения.
В некоторых случаях в трубах и полостях можно наблюдать антирезонанс — частоты, на которых амплитуда колебаний резко уменьшается из-за разрушительной интерференции волн, особенно при сложных формах труб или наличии боковых ответвлений. Эти явления активно используются в инженерной акустике, например, в глушителях, где антирезонанс помогает эффективно подавлять звук.