Собственные частоты — это частоты, на которых система склонна совершать колебания при отсутствии внешнего периодического воздействия. Эти частоты зависят исключительно от физических свойств системы: её геометрии, массы, упругости и граничных условий. При возбуждении на одной из собственных частот система входит в резонансное состояние, при котором амплитуда колебаний значительно возрастает.
Собственные частоты определяются как решения соответствующего уравнения движения, при которых система может колебаться без внешней силы. В математическом смысле речь идёт о решении однородного дифференциального уравнения с граничными условиями, отражающими физическую постановку задачи.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы, например, массу m, закреплённую на пружине с жёсткостью k. Уравнение движения:
$$ m\ddot{x} + kx = 0 $$
Решение имеет вид:
$$ x(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t), \quad \text{где} \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$
Частота ω — это собственная частота данной системы.
В более сложных системах (струны, мембраны, пластины, трубы и др.) уравнения движения принимают форму дифференциальных уравнений в частных производных, и задача сводится к поиску собственных значений и собственных функций.
Для натянутой струны длины L, закреплённой на концах, уравнение колебаний:
$$ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}, \quad \text{где} \quad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} $$
Граничные условия: y(0, t) = y(L, t) = 0
Решение методом разделения переменных приводит к следующему спектру собственных частот:
$$ f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
Каждой собственной частоте соответствует собственная форма колебаний — нормальный мод.
Для трубки с жёсткими стенками и закрытым концом длины L, в которой распространяется звуковая волна, решение уравнения волны при граничных условиях (узел скорости на закрытом конце, пучность на открытом) даёт собственные частоты:
Для трубы, закрытой с одного конца:
$$ f_n = \frac{(2n - 1)c}{4L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
Для трубы, открытой с обоих концов:
$$ f_n = \frac{nc}{2L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
Здесь c — скорость звука в воздухе.
Граничные условия оказывают ключевое влияние на спектр собственных частот:
Смена граничных условий меняет как частотный спектр, так и пространственные распределения амплитуд.
Собственные частоты большинства систем образуют дискретный спектр: f1, f2, f3, …, причём:
Каждой собственной частоте соответствует уникальная пространственная форма колебаний — собственная форма или мода. Все возможные состояния колебаний можно выразить как линейную комбинацию этих форм (принцип суперпозиции).
Если система подвергается внешнему воздействию с частотой, совпадающей с одной из собственных, амплитуда колебаний возрастает. Это явление называется резонансом. Он может быть полезным (например, в музыкальных инструментах) или разрушительным (в инженерных конструкциях, мостах, зданиях).
Для описания резонанса часто используют амплитудно-частотную характеристику. На ней видны пики амплитуд при собственных частотах. Эти пики становятся особенно выраженными при низком уровне затухания.
В объёмных телах — балках, пластинах, корпусах, акустических резонаторах — определение собственных частот требует более сложного анализа. Используются:
Собственные колебания в трёхмерных телах могут быть как продольными, так и поперечными, с различной симметрией, модами изгиба, скручивания, растяжения и др.
Для замкнутого объёма, например, комнаты или акустической камеры, собственные частоты называются резонансами помещения или модами стоячих волн. Они определяются геометрией и размерами помещения:
$$ f_{n_x n_y n_z} = \frac{c}{2} \sqrt{ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2 }, \quad n_x, n_y, n_z \in \mathbb{Z} $$
Здесь Lx, Ly, Lz — размеры помещения по трём осям.
Эти моды определяют акустические свойства помещения: области усиления и подавления звука, особенности реверберации, равномерность распределения звукового давления.
В реальных системах присутствует диссипация энергии. Она приводит к затуханию колебаний и «размазыванию» спектральных линий. Введение затухания в уравнение движения приводит к комплексным собственным частотам:
ω = ω0 − iγ
Где γ — коэффициент затухания. Сильное затухание может существенно снижать амплитуду колебаний и сглаживать резонансные пики.
На собственных частотах система совершает колебания при наименьших потерях энергии. Это связано с тем, что формы собственных колебаний соответствуют равномерному распределению энергии между кинетической и потенциальной составляющими. Поэтому возбуждение на этих частотах особенно эффективно.
Для практического определения собственных частот применяются:
Знание собственных частот необходимо при: