Стоячие волны возникают в результате интерференции двух волн одинаковой частоты, амплитуды и длины, распространяющихся в противоположных направлениях. В акустике такие условия реализуются, например, при отражении звуковой волны от жесткой или открытой границы. В результате наложения падающей и отражённой волн формируется неподвижная волновая структура, в которой одни точки колеблются с максимальной амплитудой (пучности), а другие остаются неподвижными (узлы).
Стоячая волна не переносит энергию вдоль направления распространения, в отличие от бегущей волны. Энергия в ней локализована и колеблется между потенциальной и кинетической формами в пределах полуволны.
Математически стоячая волна, возникающая при наложении двух синусоидальных волн, описывается выражением:
y(x, t) = Asin (kx − ωt) + Asin (kx + ωt) = 2Asin (kx)cos (ωt)
где:
Как видно, результат интерференции — это функция, в которой координатная зависимость (sin (kx)) и временная (cos (ωt)) разделены. Колебания происходят во времени, но форма волны во всём пространстве остаётся неизменной.
Узлы — точки, в которых колебания отсутствуют. Из уравнения стоячей волны видно, что амплитуда равна нулю, когда sin (kx) = 0, то есть:
$$ kx = n\pi \quad \Rightarrow \quad x = n\frac{\lambda}{2}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots $$
Пучности — точки, в которых амплитуда максимальна. Это происходит при sin (kx) = ±1, то есть:
$$ x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{2}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots $$
Расстояние между двумя соседними узлами или двумя соседними пучностями равно $\frac{\lambda}{2}$, а между узлом и соседней пучностью — $\frac{\lambda}{4}$.
В акустике стоячие волны наблюдаются в резонаторах, трубках, комнатах, музыкальных инструментах. В каждом случае граничные условия определяют характер колебаний и распределение узлов и пучностей.
Открытая с двух концов трубка. В такой трубке на концах формируются пучности, так как воздух может свободно колебаться. Узлы располагаются внутри трубки. Основной тон (первая гармоника) соответствует длине трубки $L = \frac{\lambda}{2}$. Соответственно:
$$ \lambda_1 = 2L, \quad f_1 = \frac{v}{2L} $$
где v — скорость звука.
Нижеследующие гармоники соответствуют условиям:
$$ \lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = \frac{nv}{2L}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots $$
Закрытая с одного конца трубка. На закрытом конце формируется узел, а на открытом — пучность. Основной тон соответствует $L = \frac{\lambda}{4}$:
$$ \lambda_1 = 4L, \quad f_1 = \frac{v}{4L} $$
В этом случае возможны только нечётные гармоники:
$$ f_n = \frac{nv}{4L}, \quad n = 1, 3, 5, \ldots $$
Это объясняет особенности звучания духовых инструментов, таких как кларнет или фагот, где наблюдается преобладание нечётных гармоник.
В замкнутом пространстве (комната, концертный зал) звуковые волны многократно отражаются от стен, потолка и пола, что создаёт стоячие волны. Такие волны формируют модальные резонансы помещения, выражающиеся в усилении или ослаблении звука на определённых частотах.
Существует три типа мод:
Эти моды определяют акустику помещения и особенно важны при проектировании студий звукозаписи, концертных залов, театров.
Хотя в стоячей волне отсутствует перенос энергии вдоль направления распространения, происходит её циклическое преобразование: в узлах минимальна кинетическая энергия и максимальна потенциальная, в пучностях — наоборот. Среднее значение энергии остаётся постоянным при отсутствии затухания.
Энергия на единицу объёма для гармонической стоячей волны:
$$ E(x, t) = \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 + \frac{1}{2} \rho v^2 \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 $$
где:
Резонаторы. Стоячие волны лежат в основе работы резонаторов, усиливающих звуки определённых частот. Пример — головка духового инструмента или акустическая колонка. Резонанс возникает при совпадении длины трубки с длиной акустической волны, удовлетворяющей граничным условиям.
Микрофоны и громкоговорители. Во многих устройствах конструкция спроектирована так, чтобы избегать образования стоячих волн внутри корпуса, поскольку это может искажать сигнал.
Ультразвуковая диагностика. В медицинской и промышленной ультразвуковой диагностике стоячие волны могут как мешать (создавая артефакты изображения), так и использоваться для точного измерения расстояний, плотностей и акустического импеданса.
Акустическая левитация. С помощью стоячих волн высокой интенсивности возможно подвешивать маленькие объекты в узлах давления. Это используется в научных и технологических приложениях.
В реальных условиях стоячие волны подвержены затуханию из-за вязкости среды, тепловых потерь, рассеяния на неоднородностях. При наличии потерь пучности и узлы становятся «размазанными»: в пучностях амплитуда уменьшается, а в узлах она уже не строго нулевая. Тем не менее, картина стоячей волны сохраняется при достаточно малых потерях.
Для учёта затухания вводится параметр качества резонатора Q, определяемый как:
$$ Q = \frac{\omega_0}{\Delta \omega} $$
где ω0 — резонансная частота, а Δω — ширина резонансной кривой на уровне половины амплитуды.
Чем выше Q, тем дольше сохраняется стоячая волна после прекращения возбуждения, и тем более узкий частотный диапазон она охватывает.
Этот разбор охватывает как физические основы стоячих волн, так и их практическое значение в акустических системах. Все приведённые формулы применимы при линейных приближениях и отсутствии сильных нелинейных эффектов.