Колебания — это процессы, при которых физическая величина периодически изменяется во времени около некоторого положения равновесия. В акустике речь идёт прежде всего о колебаниях частиц упругой среды (газа, жидкости, твёрдого тела), приводящих к распространению звуковых волн. Различают свободные и вынужденные колебания.
Свободные колебания возникают в системе после первоначального вывода её из положения равновесия без дальнейшего внешнего воздействия. Примером может служить колебание струны, которую отклонили и отпустили, либо маятника, которому придали начальное смещение.
Уравнение свободных колебаний для одномассной системы без затухания имеет вид:
$$ m \ddot{x} + kx = 0, $$
где
Решение этого уравнения:
x(t) = Acos (ω0t + φ),
где
Собственные колебания являются характеристикой самой системы и не зависят от внешних воздействий. В идеализированном случае такие колебания происходят бесконечно долго. Однако в реальных системах всегда присутствует затухание — энергия уходит на преодоление сопротивления среды (вязкости, трения).
Рассмотрим систему с линейным сопротивлением, тогда уравнение движения принимает вид:
$$ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx = 0, $$
где b — коэффициент вязкого сопротивления.
Решение в случае слабого затухания (b2 < 4mk) имеет вид:
x(t) = A0e−γtcos (ωt + φ),
где
Характеристикой затухания является логарифмический декремент:
$$ \delta = \ln \frac{x(t)}{x(t+T)} = \gamma T, $$
где T — период колебаний.
Вынужденные колебания возникают под действием внешней периодической силы. Пример — звучание струны, возбуждаемой переменным магнитным полем, либо звуковая колонка, приводимая в движение переменным током.
Уравнение движения при вынужденных колебаниях с сопротивлением:
$$ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx = F_0 \cos(\omega t), $$
где
Решение состоит из суммы общего решения (затухающие свободные колебания) и частного решения (установившиеся колебания). Через некоторое время затухающая часть исчезает, и остаются только установившиеся колебания с частотой внешнего воздействия:
x(t) = A(ω)cos (ωt + ψ),
где
Амплитуда установившихся колебаний зависит от частоты возбуждающей силы. Наибольшая амплитуда достигается при резонансе, когда частота внешнего воздействия близка к собственной частоте системы. Амплитуда при этом максимальна:
$$ A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\gamma\omega)^2}}. $$
В случае малого затухания:
ωрез ≈ ω0.
При сильном затухании резонансная частота смещается в сторону меньших значений. Резонанс проявляется особенно ярко в акустике — например, в резонаторах, музыкальных инструментах, колонках.
Для анализа поведения системы при различных частотах возбуждения строится амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость амплитуды от частоты A(ω).
Также важна фазово-частотная характеристика (ФЧХ) — зависимость фазового сдвига ψ(ω). При низких частотах система колеблется в фазе с внешним воздействием, при высоких — в противофазе. На резонансной частоте фазовый сдвиг равен π/2.
Для характеристики резонансных систем вводится понятие добротности Q, определяющее “остроту” резонансного пика:
$$ Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{m \omega_0}{b}. $$
Добротность показывает, во сколько раз энергия, запасённая в системе, превышает энергию, теряемую за один цикл колебаний. Чем выше добротность, тем уже резонансный пик и дольше затухают свободные колебания.
В акустических резонаторах и музыкальных инструментах добротность может составлять от 10 до нескольких сотен, в зависимости от материала, конструкции и окружающей среды.
Полная механическая энергия колебательной системы:
$$ E = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} k x^2. $$
В случае свободных колебаний без затухания энергия сохраняется. При наличии сопротивления она убывает экспоненциально:
E(t) = E0e−2γt.
При вынужденных колебаниях энергия постоянно поступает от внешнего источника и расходуется на преодоление сопротивления, поддерживая устойчивый режим.
Исследование колебательных процессов требует анализа решений дифференциальных уравнений второго порядка. Для сложных систем применяются методы линейной алгебры, комплексных чисел и преобразований Фурье.
Физически важным аспектом является переход от линейных к нелинейным колебаниям, где сила сопротивления или упругости зависит от смещения нелинейным образом. Это ведёт к появлению дополнительных эффектов: биений, субгармоник, автоколебаний и хаоса.
Свободные колебания лежат в основе образования тонов и обертонов, определяющих тембр звука. Вынужденные колебания — ключевой механизм передачи и усиления звуковых сигналов. Понимание динамики колебаний позволяет рассчитывать резонаторы, звукоизолирующие конструкции, музыкальные инструменты и акустические системы.