Основные типы упругих волн в твердых телах
В твердых телах, в отличие от жидкостей и газов, возможны не только продольные, но и поперечные упругие волны. Это связано с тем, что твердые среды обладают не только объемной, но и сдвиговой упругостью. Соответственно, основными типами волн, распространяющихся в твердых телах, являются:
Продольные (или объемные) волны, в которых смещения частиц среды происходят вдоль направления распространения волны. Их скорость определяется модулем Юнга и плотностью вещества.
Поперечные (сдвиговые) волны, в которых смещения частиц перпендикулярны направлению распространения. Эти волны не могут распространяться в жидкостях и газах, поскольку в них отсутствует сдвиговая жесткость.
Поверхностные волны, которые возникают на границе раздела сред (например, на поверхности твердого тела). Наиболее известный тип — волны Рэлея.
Пластинчатые (ламбовские) волны, распространяющиеся в тонких пластинах, где проявляются явления интерференции между отраженными волнами от верхней и нижней поверхности.
Уравнения движения упругой среды
При рассмотрении упругих волн в твердых телах используется теория упругости, основанная на уравнении движения, которое в общем виде записывается через тензоры напряжений и перемещений:
$$ \rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \sum_j \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j}, $$
где ui — компоненты вектора смещения, σij — компоненты тензора напряжений, ρ — плотность среды.
Напряжения σij выражаются через деформации εkl с помощью обобщённого закона Гука для изотропной среды:
σij = λδij∑kεkk + 2μεij,
где λ и μ — коэффициенты Ламе.
Скорости распространения волн
Скорости продольных и поперечных волн определяются свойствами материала:
$$ v_p = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}}. $$
$$ v_s = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}. $$
Очевидно, что vp > vs, так как в числителе у продольной волны участвует большее значение модуля упругости.
Волны Рэлея
Поверхностные волны Рэлея возникают на свободной поверхности упругого твердого тела. Эти волны убывают вглубь экспоненциально и вызывают эллиптические траектории частиц в плоскости, перпендикулярной к поверхности. Скорость распространения волн Рэлея:
vR ≈ 0, 9 vs.
Поскольку волны Рэлея медленнее и легко возмущаются, они играют важную роль в инженерной сейсмологии и дефектоскопии.
Волны Лява
Если в теле существует поверхность, параллельная направлению распространения, например, в слоистых средах, возникают волны Лява — волны сдвига, распространяющиеся вдоль слоя. Они являются аналогом волн Рэлея, но с чисто поперечным смещением.
Пластинчатые волны (волны Ламба)
В тонких пластинах возникают дисперсионные упругие волны — волны Ламба. Они делятся на симметричные и антисимметричные моды. Уравнение дисперсии для этих волн имеет сложную форму и зависит от толщины пластины, частоты и скорости волн:
$$ \tan(q h) = \pm \frac{4k^2 q p}{(q^2 - k^2)^2}, $$
где h — полутолщина пластины, k — волновое число, p и q — параметры, связанные со скоростями поперечных и продольных волн.
Рефракция и отражение упругих волн
При падении упругих волн на границу раздела двух твердых сред происходит явление отражения и преломления. В отличие от случая с жидкостями, где возможна только одна отражённая и одна преломлённая волна, в твердых телах отражаются и преломляются как продольные, так и поперечные компоненты. Угол отражения и преломления подчиняется модифицированному закону Снеллиуса:
$$ \frac{\sin \theta_p}{v_p} = \frac{\sin \theta_s}{v_s}. $$
Это приводит к появлению преобразованных волн, например, при падении продольной волны может возникнуть отражённая и преломлённая поперечная волна, и наоборот.
Интерференция и стоячие волны в твердых телах
В ограниченных объемах (например, в стержнях или пластинах) упругие волны могут интерферировать, образуя стоячие волны. Это приводит к возникновению резонансных частот, которые зависят от геометрических размеров тела и свойств материала. Частоты собственных колебаний определяются граничными условиями. Например, для продольных волн в стержне длиной L, закреплённом на концах:
$$ f_n = \frac{n v_p}{2L}, \quad n = 1,2,3,\dots $$
Аналогично определяются резонансные частоты поперечных и изгибных волн.
Затухание упругих волн
Несмотря на то, что идеальная упругая среда не поглощает энергию, в реальных твердых телах наблюдается затухание упругих волн. Основные механизмы затухания:
Затухание описывается через коэффициент качества Q, связанный с амплитудным убыванием по экспоненте:
$$ A(x) = A_0 e^{-\alpha x}, \quad \alpha = \frac{\pi f}{Q v}. $$
Анизотропия упругих свойств и распространение волн
Во многих твердых телах (например, кристаллах) упругие свойства зависят от направления. Это приводит к тому, что скорости продольных и поперечных волн изменяются с направлением распространения. В анизотропной среде тензор упругости Cijkl имеет более сложную структуру, и для описания волнового процесса используется уравнение Кристоффеля:
det |Cijklnjnl − ρv2δik| = 0,
где nj — направляющие косинусы. Это уравнение определяет допустимые скорости волн в данной ориентации.
Применения теории упругих волн
Математическое моделирование и численные методы
Для сложных геометрий и неоднородных материалов аналитические решения уравнений движения становятся невозможными, поэтому применяются численные методы:
Численное моделирование позволяет воспроизводить распространение упругих волн в реалистичных условиях с учётом неоднородностей, дефектов и сложных граничных условий.
Нелинейные эффекты
При больших амплитудах упругие волны в твердых телах становятся нелинейными. Это проявляется в:
Нелинейная акустика твёрдых тел — отдельная область, развивающаяся в связи с необходимостью диагностики микродефектов и остаточных напряжений.