Волновое уравнение

Понятие волнового уравнения

Волновое уравнение — это фундаментальное дифференциальное уравнение, описывающее распространение волн в различных физических средах. В акустике оно применяется для описания распространения звуковых возмущений в воздухе, жидкостях и твёрдых телах. Основная цель — определить, как изменяется акустическое возмущение (давление, смещение или скорость частиц) в пространстве и времени.

Общая форма одномерного волнового уравнения для функции u(x, t), описывающей возмущение (например, смещение частиц среды) вдоль координаты x во времени t, имеет вид:

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

где c — фазовая скорость распространения волны в данной среде.

Физические предпосылки вывода

Волновое уравнение в акустике выводится из основных законов механики непрерывной среды: закона сохранения массы (непрерывности), закона сохранения импульса (второго закона Ньютона) и уравнения состояния.

Пусть рассматривается идеальная, сжимаемая, невязкая жидкость. Обозначим:

  • p — акустическое отклонение давления от равновесного,
  • ρ — плотность,
  • v — скорость частиц среды.

Тогда:

  1. Уравнение непрерывности:

    $$ \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial x} = 0 $$

  2. Уравнение движения (второй закон Ньютона):

    $$ \rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x} $$

  3. Уравнение состояния (линейное приближение):

    p = c2ρ′

Комбинируя эти уравнения, получаем волновое уравнение для давления:

$$ \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} $$

Аналогичные уравнения можно получить для смещения и скорости частиц.

Многомерная форма уравнения

В трёхмерном случае, при рассмотрении функции u(x, y, z, t), волновое уравнение записывается как:

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u $$

где ∇2 — лапласиан, выражающий сумму вторых производных по пространственным координатам:

$$ \nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} $$

Общие свойства решений

Решения волнового уравнения характеризуются следующими особенностями:

  • Наличие фронта волны, распространяющегося с конечной скоростью c.
  • Принцип суперпозиции, позволяющий складывать решения при линейности уравнения.
  • Сохранение формы при распространении в однородной среде (в случае гармонических решений).
  • Существование стоячих и бегущих волн в зависимости от начальных и граничных условий.

Форма решения в одномерном случае

Общее решение одномерного волнового уравнения имеет вид:

u(x, t) = f(x − ct) + g(x + ct)

где f и g — произвольные дважды дифференцируемые функции, описывающие форму волны, движущейся соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси x.

Гармонические решения

Частный и важный случай — синусоидальные (гармонические) волны:

u(x, t) = Acos (kx − ωt + φ)

где:

  • A — амплитуда волны,
  • $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число,
  • ω = 2πf — циклическая частота,
  • φ — начальная фаза,
  • λ — длина волны.

Для такой волны соблюдается дисперсионное соотношение:

ω = ck

Граничные и начальные условия

Чтобы волновое уравнение описывало конкретную физическую ситуацию, необходимо задать:

  • Начальные условия — значение функции и её производной по времени в начальный момент:

    $$ u(x,0) = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = v_0(x) $$

  • Граничные условия, например:

    • Фиксированное смещение: u(0, t) = 0,
    • Свободный конец: $\frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = 0$,
    • Периодичность: u(0, t) = u(L, t).

Выбор условий определяет спектр допустимых решений и физическую реализацию задачи: стоячие волны в резонаторах, отражения на границах и т.д.

Энергетические соображения

С волной связано переносимое ею механическое колебательное движение, выражающееся в передаче энергии. Для описания энергии акустической волны вводятся понятия:

  • Плотность кинетической энергии:

    $$ w_k = \frac{1}{2} \rho_0 v^2 $$

  • Плотность потенциальной энергии:

    $$ w_p = \frac{1}{2} \frac{p^2}{\rho_0 c^2} $$

  • Полная энергия:

    w = wk + wp

Энергия распространяется в пространстве со скоростью c и зависит от квадрата амплитуды волны.

Расширенные формы волнового уравнения

Реальные среды неидеальны. В них присутствуют:

  • Вязкость — вызывает затухание волны,
  • Теплопроводность — приводит к дополнительному рассеянию энергии,
  • Неоднородности среды — вызывают преломление, отражение, рассеяние.

В этих случаях волновое уравнение дополняется членами, учитывающими затухание и дисперсию:

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + 2\gamma \frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

где γ — коэффициент затухания.

Также возможно появление дисперсионных соотношений вида:

ω = ω(k)

что приводит к искажению формы волны при распространении (групповая скорость отличается от фазовой).

Применения в акустике

Волновое уравнение является основой:

  • Моделирования звука в воздухе и других газах,
  • Расчёта резонансных частот в закрытых и открытых объёмах (трубах, полостях),
  • Анализа ультразвука в медицинской диагностике,
  • Прогнозирования распространения сейсмических волн,
  • Проектирования систем шумоподавления и звукопоглощения.

В более сложных случаях используются обобщённые волновые уравнения в сферических, цилиндрических координатах, а также с учётом нелинейных эффектов, актуальных при сильных звуковых полях.

Связь с другими уравнениями физики

Волновое уравнение возникает не только в акустике, но и в электродинамике (волны Максвелла), теории упругости, квантовой механике (уравнение Шрёдингера в виде, напоминающем диффузию), гидродинамике. Его универсальность подчёркивает фундаментальную роль колебательных процессов в природе.

Оглавление