Природа и механизм образования
Волны Рэлея представляют собой тип поверхностных упругих волн, распространяющихся по границе раздела двух сред, наиболее часто — по поверхности твёрдого тела. Они были теоретически предсказаны лордом Рэлеем в 1885 году как решение уравнений Ламе для упругих тел с граничными условиями на свободной поверхности.
Движение частиц в волне Рэлея происходит по эллиптическим траекториям в плоскости, перпендикулярной к поверхности. Эллипс ориентирован так, что большая ось направлена вглубь тела, а частицы перемещаются в направлении, противоположном направлению распространения волны на поверхности и в том же направлении — на глубине. С увеличением глубины амплитуда движения экспоненциально затухает.
Математическое описание
Пусть волна распространяется вдоль оси x на свободной поверхности тела z = 0. Для идеального упругого изотропного полупространства уравнения движения сводятся к следующей системе:
$$ \rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2} = (\lambda + 2\mu)\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf{u}) $$
где u — вектор перемещения, λ, μ — параметры Ламе, ρ — плотность материала.
Решение в виде волны Рэлея ищется как комбинация потенциальной (продольной) и вихревой (поперечной) волн, удовлетворяющих граничным условиям на поверхности: отсутствие напряжений на границе.
Скорость распространения волны Рэлея cR зависит от параметров среды и всегда меньше скорости поперечной волны cS. Приближённо:
$$ c_R \approx c_S \cdot \left( \frac{0.87 + 1.12\nu}{1 + \nu} \right) $$
где ν — коэффициент Пуассона. Для большинства материалов cR ≈ 0.9cS.
Свойства и применение
Особая чувствительность волн Рэлея к поверхностным дефектам и неоднородностям делает их эффективными в задачах диагностики материалов.
Физическая природа
Волны Лява, или горизонтально-поляризованные поверхностные волны, возникают в средах с геометрией типа “пластина на подложке” или в стратифицированных телах. В отличие от волн Рэлея, движение частиц при распространении волн Лява направлено перпендикулярно как к направлению распространения, так и к нормали к поверхности, то есть частицы совершают горизонтальные поперечные колебания.
Их существование возможно только в случае упругого слоя конечной толщины, расположенного на более жёсткой подложке. Они представляют собой суперпозицию отражённых поперечных волн, интерферирующих таким образом, что энергия остаётся локализованной вблизи слоя.
Условия возникновения и распространения
Волны Лява не возникают в полупространстве — они требуют наличия верхнего слоя с меньшей скоростью поперечных волн, наложенного на подстилающую среду. Они не содержат продольной компоненты, в отличие от волн Рэлея, и поэтому не сопровождаются вертикальными перемещениями.
Для существования волны Лява необходимо выполнение условия:
cS1 < c < cS2
где cS1 — скорость поперечной волны в верхнем слое, cS2 — скорость в подложке, а c — фазовая скорость волны Лява.
Математическая формулировка
Пусть упругий слой толщины h имеет параметры μ1, ρ1, а подложка — μ2, ρ2. Решение задачи о распространении волн Лява заключается в поиске условий, при которых решение уравнений упругости удовлетворяет граничным условиям:
Решение приводит к дисперсионному уравнению, которое определяет фазовые скорости cn дискретного набора мод волн Лява. Каждая мода соответствует определённому числу узлов в распределении амплитуды по глубине.
Дисперсионные свойства
Волны Лява являются дисперсионными, т.е. их фазовая скорость зависит от частоты. Дисперсия связана с конечной толщиной слоя и приводит к существованию нескольких дискретных мод. С увеличением частоты появляются всё более высокие моды, каждая из которых обладает собственной структурой поля смещений.
Типичная зависимость фазовой скорости от частоты для волны Лява выглядит как серия кривых, каждая из которых асимптотически приближается к скорости сдвиговой волны в слое (сверху) и в подложке (снизу).
Применения и особенности
Особое значение волны Лява приобретают в задачах структурного мониторинга и зондирования, поскольку их горизонтальная поляризация позволяет эффективно использовать приёмники, не чувствительные к вертикальным движениям, что увеличивает точность регистрации и устойчивость к шуму.
| Характеристика | Волны Рэлея | Волны Лява |
|---|---|---|
| Тип движения частиц | Эллиптическое в вертикальной плоскости | Горизонтальное, перпендикулярное направлению распространения |
| Необходимость стратификации | Нет, возможны в полупространстве | Да, требуется слой с cS1 < cS2 |
| Направление смещения | В плоскости распространения | Перпендикулярно плоскости распространения |
| Дисперсия | Практически отсутствует | Сильно выражена |
| Чувствительность к поверхности | Очень высокая | Зависят от толщины и структуры слоя |
| Наличие нескольких мод | Нет, одна основная мода | Да, существует бесконечное число мод |
| Использование в приборах | Акустоэлектроника, неразрушающий контроль | Геофизика, сейсморазведка |
Ключевые выводы: