Звук в газах

Физические основы распространения звука в газах

Звук в газах представляет собой продольные механические колебания давления и плотности, распространяющиеся в виде упругих волн. В отличие от твердых тел, где возможны как продольные, так и поперечные волны, в газах возможны только продольные волны, поскольку газы не обладают устойчивостью к сдвиговым деформациям. В таких волнах частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны, вызывая локальные сжатия и разрежения.

Уравнение движения и волновое уравнение для звука в газах

Для описания звуковой волны в газе применяются основные уравнения механики сплошной среды:

  1. Уравнение непрерывности:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$

где ρ — плотность газа, v — поле скорости частиц.

  1. Уравнение движения (в форме Эйлера):

$$ \rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \rho (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = -\nabla p $$

где p — давление.

  1. Уравнение состояния (для идеального газа в условиях адиабатического процесса):

p = Aργ

где A — постоянная, γ = Cp/Cv — показатель адиабаты.

Для звуковых колебаний все величины разлагаются в ряд по малым возмущениям:

ρ = ρ0 + ρ′,  p = p0 + p′,  v = v′

где ρ0, p0 — равновесные значения, а ρ′, p′, v′ — малые отклонения.

Линеаризация системы и исключение переменных приводит к волновому уравнению:

$$ \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 p' $$

где c — скорость звука в газе, определяемая как:

$$ c = \sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s} = \sqrt{\gamma \frac{p_0}{\rho_0}} $$

Скорость звука в газах

Скорость звука в идеальных газах выражается через температуру и молярную массу:

$$ c = \sqrt{\gamma \frac{R T}{\mu}} $$

где:

  • R — универсальная газовая постоянная,
  • T — абсолютная температура,
  • μ — молярная масса газа.

Из этого уравнения следует, что:

  • скорость звука увеличивается с ростом температуры,
  • зависит от природы газа (значения γ и μ),
  • не зависит от давления, если температура постоянна.

Примеры:

  • Воздух при 20∘C: c ≈ 343 м/с,
  • Водород: выше 1200 м/с,
  • Диоксид углерода: около 260 м/с.

Импеданс звуковой волны в газе

Акустический импеданс Z — это отношение звукового давления к колебательной скорости частиц:

$$ Z = \frac{p'}{v'} = \rho_0 c $$

Импеданс характеризует сопротивление среды распространению звуковой волны. Он играет ключевую роль при взаимодействии волн с границами: отражение, прохождение и поглощение зависят от соотношений импедансов двух сред.

Затухание звука в газах

Реальные газы не являются абсолютно идеальными средами: в них наблюдаются явления диссипации энергии. Основные механизмы затухания:

  1. Вязкость — вызывает внутреннее трение при движении частиц;
  2. Теплопроводность — передача тепла между участками сжатия и разрежения;
  3. Молекулярная релаксация — запаздывание установления термодинамического равновесия между различными степенями свободы молекул.

Коэффициент затухания зависит от частоты звука, температуры и состава газа. При этом волна теряет энергию, и амплитуда звукового давления убывает экспоненциально:

p′(x) = p′0e−αx

где α — коэффициент затухания.

Звуковое давление, плотность потока энергии и интенсивность

Звуковое давление p′ — отклонение давления от равновесного состояния. Оно связано с колебательной скоростью через импеданс.

Интенсивность звука в газе определяется как среднее значение плотности потока энергии:

$$ I = \langle p'(t) v'(t) \rangle = \frac{p'^2_{\text{rms}}}{Z} $$

где p′rms — среднеквадратичное значение давления.

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды и убывает с расстоянием от источника, особенно в реальных средах с затуханием.

Рефракция и дифракция звука в неоднородной атмосфере

В атмосфере Земли звук распространяется в условиях изменяющихся температуры и плотности воздуха, что приводит к рефракции — изменению направления распространения волны.

Если температура по высоте убывает, скорость звука также убывает, и волны изгибаются вниз. При инверсии температуры (например, ночью над землёй) звук может изгибаться вверх.

Также наблюдаются явления дифракции — огибания препятствий. Звуковая волна с длиной λ способна огибать препятствия, размеры которых сравнимы с λ. Поэтому низкочастотные звуки (с большой длиной волны) проникают за преграды лучше высокочастотных.

Стоячие волны в газовых средах

В ограниченных газовых объемах (например, в трубках) при наложении встречных волн возникают стоячие волны. Такие волны характеризуются чередованием узлов и пучностей давления и скорости.

Для труб с закрытым и открытым концом реализуются разные граничные условия:

  • Открытый конец — узел давления, пучность скорости;
  • Закрытый конец — пучность давления, узел скорости.

Резонансные частоты в трубке длиной L:

  • Для трубы, открытой с обоих концов:

$$ f_n = \frac{n c}{2L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$

  • Для трубы, закрытой с одного конца:

$$ f_n = \frac{(2n - 1) c}{4L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$

Это используется, например, в музыкальных инструментах (флейта, кларнет, органные трубы).

Нелинейные эффекты при больших амплитудах

При высоких амплитудах звуковых колебаний (например, ударная волна) линейное приближение нарушается. Волна приобретает асимметричную форму: фронт уплотнения становится крутым, а разрежения — пологим.

Это приводит к гармоническому искажению — возникновению в спектре дополнительных частот, а также к образованию ударных волн, где градиенты давления и плотности достигают огромных значений. Такие волны часто встречаются в аэродинамике, взрывной акустике, при сверхзвуковом движении объектов.

Применение изучения звука в газах

Физика звука в газах лежит в основе множества прикладных и научных областей:

  • Акустика атмосферы, прогнозирование распространения звука в воздухе;
  • Проектирование звуковых и музыкальных приборов;
  • Метеорология (акустическое зондирование);
  • Авиация и аэрокосмическая техника;
  • Газоанализ по скорости звука и акустическому спектру;
  • Исследование ударных волн, взрывов и баллистических процессов.
Оглавление