Критическая плотность и геометрия Вселенной

Космологические модели, основанные на общей теории относительности, описывают эволюцию Вселенной как решение уравнений Эйнштейна для однородной и изотропной среды. Эти модели используют метрику Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера (ФЛРВ), в которой масштабный фактор a(t) определяет изменение расстояний между объектами во времени. Геометрия пространства в этой метрике может быть евклидовой (плоской), сферической (замкнутой) или гиперболической (открытой), и это напрямую связано с понятием критической плотности.

Уравнения Фридмана и роль плотности

Основное уравнение, определяющее динамику расширяющейся Вселенной, — это первое уравнение Фридмана:

$$ \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3} $$

где:

  • ȧ — производная масштабного фактора по времени,
  • ρ — полная энергия на единицу объема,
  • k — параметр кривизны (0 для плоской, +1 для замкнутой, -1 для открытой геометрии),
  • Λ — космологическая постоянная,
  • G — гравитационная постоянная.

В отсутствие Λ (или при её малом значении), геометрия Вселенной определяется сравнением фактической плотности ρ с критической плотностью ρc, определяемой как:

$$ \rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G} $$

где $H = \frac{\dot{a}}{a}$ — параметр Хаббла.

Значение критической плотности

Критическая плотность — это пороговое значение, при котором Вселенная имеет плоскую геометрию. Отношение реальной плотности материи и энергии к критической обозначается как параметр Омега:

$$ \Omega = \frac{\rho}{\rho_c} $$

и определяет геометрию Вселенной:

  • Ω = 1 → плоская (евклидова) Вселенная, k = 0
  • Ω > 1 → замкнутая Вселенная, k = +1
  • Ω < 1 → открытая Вселенная, k = −1

Таким образом, геометрия Вселенной является следствием относительного значения плотности материи и энергии в ней.

Влияние темной материи и темной энергии

Современные космологические наблюдения, в частности космическое микроволновое фоновое излучение (CMB), свидетельствуют о том, что Вселенная на больших масштабах очень близка к плоской геометрии, то есть Ω ≈ 1. Однако вклад в общее значение Ω вносится не только обычной (барионной) материей, но и темной материей, а также темной энергией:

  • Ωb ≈ 0.05 — барионная материя,
  • Ωdm ≈ 0.27 — темная материя,
  • ΩΛ ≈ 0.68 — темная энергия.

Сумма этих компонентов даёт:

Ωtotal = Ωb + Ωdm + ΩΛ ≈ 1

что подтверждает почти строго плоскую геометрию современного космоса. Тем не менее, значительная доля плотности приходится на компоненты, чья физическая природа до конца не установлена.

Геометрические последствия различий в плотности

В зависимости от значения Ω, различается не только геометрия пространства, но и его судьба:

  • Замкнутая Вселенная (Ω > 1): положительная кривизна, конечный объем, в будущем возможен «Большой сжатие» — прекращение расширения и последующее сжатие.
  • Плоская Вселенная (Ω = 1): нулевая кривизна, бесконечное пространство, расширение продолжается вечно, но темп замедляется или стабилизируется.
  • Открытая Вселенная (Ω < 1): отрицательная кривизна, бесконечное пространство, вечное ускоряющееся расширение.

Однако в присутствии ненулевой космологической постоянной (Λ > 0), сценарии усложняются: даже замкнутая Вселенная может бесконечно расширяться, если темная энергия преобладает.

Наблюдательные данные и измерения кривизны

Космологические параметры извлекаются из наблюдений с высокой точностью. Наиболее мощным инструментом стало измерение флуктуаций реликтового излучения с помощью миссий WMAP, Planck и других. В частности, анализ углового масштаба первых акустических пиков спектра мощности CMB позволяет судить о кривизне пространства.

Если Вселенная искривлена:

  • в замкнутом пространстве угловой диаметр объектов выглядит больше,
  • в открытом пространстве — меньше,
  • при нулевой кривизне — как в евклидовой геометрии.

Результаты показывают, что угловой масштаб первых пиков соответствует плоской геометрии с точностью лучше 1%.

Пространственная геометрия и метрика

Метрика ФЛРВ описывает трёхмерное пространство с кривизной k следующим образом:

$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\phi^2) \right] $$

Геометрические свойства пространства зависят от знака k:

  • k = 0: плоское пространство, геометрия Евклида.
  • k = +1: пространство трёхмерной сферы, положительная кривизна.
  • k = −1: гиперболическое пространство, отрицательная кривизна.

Пространственная кривизна влияет не только на глобальную структуру, но и на объёмы, площади сфер, расстояния до объектов и световые конусы.

Критическая плотность и эволюция масштабного фактора

Форма эволюции масштабного фактора a(t) зависит от плотности энергии и её компонентов. Простейшие случаи:

  • Для пыли (материя без давления), ρ ∝ a−3
  • Для излучения, ρ ∝ a−4
  • Для темной энергии, ρ = const

В рамках модели ΛCDM можно описать эволюцию как:

H2(a) = H02(Ωra−4 + Ωma−3 + Ωka−2 + ΩΛ)

где Ωk = 1 − Ωtotal, отражающая вклад кривизны.

При Ωtotal = 1, кривизна отсутствует, и слагаемое Ωka−2 исчезает, упрощая уравнение.

Современное значение и космологическое значение

На сегодняшний день значение критической плотности составляет:

ρc ≈ 1.88 ⋅ 10−29 h2 г/см3

где h ≈ 0.7 — безразмерный параметр Хаббла. Это чрезвычайно малая величина по земным меркам, однако в масштабах Вселенной именно она определяет гравитационную судьбу космоса.

Понимание критической плотности и геометрии позволяет ответить на фундаментальные вопросы: конечна ли Вселенная, какова её форма, и как она будет эволюционировать в далёком будущем. Эти параметры играют центральную роль в построении космологических моделей и интерпретации астрофизических наблюдений.

Оглавление