Космологический принцип формулируется как допущение о том, что Вселенная в больших масштабах однородна и изотропна. Эти два ключевых понятия задают симметрии, на которых строится современная космологическая модель.
Эти свойства предполагаются справедливыми в среднем, то есть после усреднения по масштабам порядка 100 Мпк и более. В меньших масштабах структура Вселенной кластеризована: существуют галактики, скопления, пустоты и нити.
Принцип космологии приводит к определённому виду метрик пространства-времени, удовлетворяющих этим симметриям, а именно — к метрике Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРВ).
Метрика ФЛРВ описывает геометрию пространства-времени, удовлетворяющую космологическому принципу. Она имеет вид:
$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\phi^2) \right] $$
где:
ds2 — квадрат интервала пространства-времени,
t — космическое время,
r, θ, ϕ — сферические координаты (координаты комовского наблюдателя),
a(t) — масштабный фактор,
k — параметр пространственной кривизны:
Масштабный фактор a(t) описывает, как расстояния между комовскими наблюдателями (неподвижными относительно расширяющегося пространства) изменяются с течением времени. Его рост отражает расширение Вселенной, а его убывание — сжатие.
Физическое расстояние между двумя объектами пропорционально a(t), если они находятся в состоянии покоя в комовской системе координат:
D(t) = a(t) ⋅ χ
где χ — постоянная комовская координата объекта (инвариантное расстояние).
Скорость изменения расстояния между объектами определяется параметром Хаббла:
$$ H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} $$
где ȧ(t) — производная масштабного фактора по времени. Текущая величина H0 = H(t0) называется постоянной Хаббла и измеряется, например, в км/с/Мпк.
В метрике ФЛРВ кривизна проявляется через член 1 − kr2 в радиальной части. Величина k определяет глобальную геометрию пространства:
Это различие проявляется, например, в зависимости между угловым диаметром объекта и его расстоянием до наблюдателя, а также в зависимости между яркостью и красным смещением.
Используя метрику ФЛРВ как анзац в уравнения Эйнштейна общей теории относительности, можно вывести уравнения Фридмана, которые описывают эволюцию масштабного фактора:
Первое уравнение Фридмана:
$$ \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{k c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3} $$
Второе уравнение Фридмана:
$$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3} $$
где:
Первое уравнение определяет скорость расширения Вселенной, второе — ускорение или замедление этого процесса.
Наблюдаемое космологическое красное смещение связано с масштабным фактором следующим образом:
$$ 1 + z = \frac{a(t_0)}{a(t_e)} = \frac{1}{a(t_e)} $$
где z — красное смещение, t0 — момент наблюдения (современное время), te — момент испускания света.
Таким образом, космологическое красное смещение — это результат растяжения длины волны света вследствие расширения пространства.
Комовские координаты r, θ, ϕ являются неизменными во времени для свободно движущихся объектов, не подверженных локальным силам. Это удобно для описания расширяющейся Вселенной, поскольку изменения расстояний между объектами происходят исключительно за счёт изменения масштабного фактора.
Физические координаты получаются домножением на a(t):
xфиз(t) = a(t) ⋅ xкомов
Такой подход позволяет разделить эффект глобального расширения от локальных движений (например, собственных скоростей галактик).
Поскольку свет движется по нулевым интервалам (ds2 = 0), можно использовать метрику ФЛРВ для определения траекторий фотонов. Для луча, движущегося радикально:
$$ c dt = \pm a(t) \frac{dr}{\sqrt{1 - k r^2}} $$
Решение этого уравнения позволяет связать момент испускания сигнала с моментом его регистрации и определить комовское расстояние до объекта.
На основе этих интегралов вводятся важные понятия светового, углового диаметрального и люминесцентного расстояний, которые применяются в наблюдательной космологии.
Уравнения Фридмана допускают существование сингулярных состояний при a(t) → 0, что интерпретируется как начальная сингулярность — момент Большого взрыва. В зависимости от формы a(t) могут существовать и будущие сингулярности или горизонты событий, если расширение ускоряется бесконечно.
Присутствие космологической постоянной может приводить к де Ситтеровской экспансии, при которой масштабный фактор экспоненциально растёт: a(t) ∝ eHt. Такое поведение также характерно для инфляционной эпохи и для будущего, если тёмная энергия доминирует.
Метрика ФЛРВ лежит в основе всех расчётов в наблюдательной космологии. С её помощью определяются зависимости:
Измерения постоянной Хаббла H0, плотности вещества Ωm, кривизны Ωk, энергии вакуума ΩΛ опираются на модели, построенные на основе метрики ФЛРВ. Эти параметры затем уточняются по результатам наблюдений, включая спектры реликтового излучения, сверхновые Ia, и распределение больших структур.
Несмотря на успех модели ФЛРВ, в некоторых случаях космологический принцип может нарушаться. Локальные неоднородности, анизотропии, влияние топологических эффектов и квантовой гравитации требуют более общей формализации — например, в виде моделей с нарушенной однородностью или анизотропных решений уравнений Эйнштейна (например, метрики Бьянки).
Тем не менее, на масштабах свыше 100 Мпк модель ФЛРВ остаётся основой теоретической и наблюдательной космологии, обеспечивая фундамент для интерпретации практически всех наблюдательных данных о Вселенной.