Релятивистская гидродинамика

Основные уравнения релятивистской гидродинамики

В релятивистской гидродинамике основное уравнение — это закон сохранения тензора энергии-импульса и закон сохранения числа частиц. Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса имеет вид:

T^μν = (ρ + p)u^μu^ν + pg^μν

где

ρ — плотность энергии в собственной системе отсчёта,
p — давление,
u^μ — четырёхскорость жидкости (нормированная: u^μu_μ = −1),
g^μν — метрический тензор пространства-времени.

Закон сохранения энергии-импульса:

∇_μT^μν = 0

и закон сохранения числа частиц (или барионного заряда):

∇_μ(nu^μ) = 0

где n — концентрация частиц в локальной системе отсчёта.

Эти уравнения в совокупности с уравнением состояния p = p(ρ, n) определяют эволюцию релятивистской жидкости в пространстве-времени.

Четырёхскорость и лоренц-факторы

Четырёхскорость u^μ = γ(1, v⃗), где v⃗ — трёхмерная скорость, а γ = (1 − v²)^−1/2 — лоренц-фактор. В релятивистской гидродинамике важную роль играет разделение между лабораторной системой отсчёта и локальной системой, движущейся вместе с жидкостью.

Преобразование уравнений в консервативную форму

Для численного моделирования часто используют консервативную форму уравнений. В плоском пространстве Минковского (g^μν = diag(−1, 1, 1, 1)) система уравнений в виде:

$$ \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{F} = \mathbf{S} $$

где

U — вектор консервативных переменных: плотность энергии, импульс и массы,
F — потоковый вектор,
S — источник (в искривлённом пространстве или при наличии внешних полей).

Релятивистская идеальная жидкость и уравнение состояния

В простейшем случае жидкость описывается уравнением состояния:

p = (Γ − 1)ρ_int

где Γ — показатель адиабаты, ρ_int = ρ − nm — внутренняя энергия. Такое уравнение используется для моделирования релятивистского газа с высокой температурой, например в джетах активных ядер или при гравитационном коллапсе.

Ультрарелятивистский предел

В пределе высоких температур (kT ≫ mc²) и малых масс покоя используется ультрарелятивистская аппроксимация, в которой:

$$ p = \frac{1}{3} \rho $$

Это характерно для фотонного газа, нейтрино, кварк-глюонной плазмы, возникающей, например, в ранней Вселенной или при слиянии нейтронных звёзд.

Релятивистские ударные волны и разрывы

В релятивистской гидродинамике также возникают ударные волны. На границе разрыва применяются релятивистские условия Ранкина–Гюгонио. Они связывают значения физических величин по обе стороны фронта:

[T^μνn_ν] = 0, [nu^μn_μ] = 0

где n^μ — нормаль к фронту разрыва, а квадратные скобки обозначают скачок величины. Эти условия важны для моделирования сверхновых, релятивистских джетов, гамма-всплесков.

Аналитические решения: релятивистская версия задачи Римана

Релятивистская версия задачи Римана (начальное условие с разрывом плотности и давления) имеет точные решения, аналогичные нерелятивистским, но с учётом лоренц-факторов. В зависимости от условий формируются ударные волны, разрежения и контактные разрывы. Эти решения часто используются для тестирования численных кодов.

Численные методы релятивистской гидродинамики

Из-за сложности аналитических решений, основным инструментом становится численное моделирование. Важные особенности:

Консервативные схемы: Используются методы высокой точности (WENO, TVD, ENO), сохраняющие энергию и импульс.
Методы Годунова: Основаны на решении задачи Римана на каждом шаге, применимы к релятивистским задачам.
Релятивистские адаптивные сетки: Позволяют эффективно разрешать тонкие структуры, фронты ударов.
GRHD (General Relativistic Hydrodynamics): Системы в метрике искривлённого пространства, например, Шварцшильда или Керра.

Влияние кривизны пространства-времени

При наличии сильного гравитационного поля (близ нейтронных звёзд, чёрных дыр) необходимо учитывать обобщённую метрику. Уравнения переписываются в виде:

$$ \nabla_\mu T^{\mu\nu} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left( \sqrt{-g} T^{\mu\nu} \right) + \Gamma^\nu_{\mu\lambda} T^{\mu\lambda} = 0 $$

Здесь Γ_μλ^ν — символы Кристоффеля, описывающие геометрию пространства-времени. Такие задачи решаются в контексте общей релятивистской гидродинамики, например при моделировании аккреции на чёрные дыры или релятивистских взрывов.

Применения в астрофизике

Гамма-всплески (GRB): Джеты, двигающиеся с лоренц-факторами γ ∼ 100 − 1000, требуют релятивистской гидродинамики для описания коллимированного потока плазмы.
Аккреционные диски вокруг чёрных дыр: Внутренние области требуют учёта общей теории относительности и гидродинамики для описания потоков вещества.
Слияния нейтронных звёзд: Плотная материя, экстремальные скорости, генерация гравитационных волн — всё это описывается в рамках GRHD.
Ранняя Вселенная: В горячей плазме, сразу после Большого взрыва, действуют уравнения релятивистской гидродинамики в расширяющемся пространстве.

Магнито-релятивистская гидродинамика (RMHD)

С учётом магнитных полей вводится тензор Максвелла:

$$ T^{\mu\nu}_{\text{EM}} = F^{\mu\lambda} F^\nu{}_\lambda - \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F_{\lambda\sigma} F^{\lambda\sigma} $$

и полный тензор энергии-импульса:

T^μν = T_fluid^μν + T_EM^μν

Таким образом, возникает система уравнений RMHD, используемая при моделировании пульсаров, джетов, плазмы в магнитосферах и околочернодырных структурах.

Граничные и начальные условия

Для корректного численного моделирования требуется аккуратный выбор граничных условий, особенно при наличии горизонта событий или бесконечной области. Типичные граничные условия:

Поглощающие — минимизируют отражения на границе,
Симметричные — для осесимметричных задач,
Периодические — в моделях с повторяющейся структурой.

Современные коды и библиотеки

Для решения задач релятивистской гидродинамики используются специализированные численные коды:

HARM, Athena++, Whisky, GRHydro — для GRHD и RMHD,
PLUTO, RAM, FLASH — для многомасштабных задач,
Einstein Toolkit — платформа для моделирования гравитационно-гидродинамических процессов.

Они реализуют передовые схемы, поддержку общей относительности, магнитных полей, адаптивных сеток и параллельных вычислений.