Теория гравитационных волн

Основы теории гравитационных волн

В общей теории относительности (ОТО), предложенной А. Эйнштейном в 1915 году, гравитация трактуется не как сила в ньютоновском смысле, а как искривление пространства-времени. Массы и энергии определяют метрику пространства-времени, а движение тел описывается геодезическими линиями в этой искривлённой геометрии.

Ключевым уравнением ОТО является тензорное уравнение Эйнштейна:

$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

где Gμν — тензор Эйнштейна, содержащий информацию о кривизне, Tμν — тензор энергии-импульса, G — гравитационная постоянная, c — скорость света.

Когда возмущения в пространственно-временной метрике распространяются с конечной скоростью, они могут формировать гравитационные волны — аналоги электромагнитных волн, но для самой геометрии пространства-времени.

Линейное приближение: волновое уравнение для слабого поля

Предположим, что метрика пространства-времени слабо отклоняется от плоской метрики Минковского:

gμν = ημν + hμν,  |hμν| ≪ 1

В этом линейном приближении уравнения Эйнштейна можно линейризовать. После калибровки (например, в трансверсально-трассированной калибровке) получается волновое уравнение для возмущения:

$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

где — волновой оператор (даламбертиан), μν — скорректированный тензор возмущения. В вакууме (Tμν = 0) это просто:

μν = 0

то есть плоская волна, распространяющаяся со скоростью света.

Свойства гравитационных волн

  • Поперечность: гравитационные волны — это поперечные волны, действующие перпендикулярно направлению распространения.
  • Поляризации: в ОТО предсказывается две линейно-независимые поляризации — плюс (+) и крест (×), соответствующие различным деформациям пространства.
  • Безмассовость и скорость: гравитационные волны распространяются со скоростью света и описываются безмассовыми тензорными возмущениями.

Квадрупольное излучение

В отличие от электромагнитных волн, которые могут иметь дипольный характер, гравитационные волны в ОТО излучаются только начиная с квадрупольного момента. Это обусловлено сохранением энергии, импульса и момента импульса, а также тем, что масса (аналог заряда) не может колебаться (в отсутствии отрицательной массы).

Мощность, излучаемая системой, описывается формулой Эйнштейна для квадрупольного излучения:

$$ P = \frac{G}{5c^5} \left\langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}^{ij} \right\rangle $$

где Qij — квадрупольный момент распределения массы, троеточие — третья производная по времени.

Источники гравитационных волн

Наиболее мощные источники:

  • Слияния компактных объектов (двойные системы нейтронных звёзд или чёрных дыр)
  • Асимметричные коллапсы звёзд (сверхновые)
  • Реликтовый гравитационный фон из ранней Вселенной
  • Квазипериодические источники, например, вращающиеся несимметричные нейтронные звёзды

Каждый источник характеризуется спектральным диапазоном, амплитудой и длительностью сигнала.

Энергетика и перенос энергии

Хотя гравитационные волны чрезвычайно слабы, они переносят энергию. Энергетический поток определяется псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля:

tGWμν ∝ ⟨∂μhαβνhαβ

Поток энергии может приводить к измеримому эффекту — например, в виде уменьшения орбитального периода двойной системы, как наблюдалось в двойном пульсаре PSR B1913+16.

Влияние на тестовые частицы

Эффект гравитационной волны проявляется в изменении расстояния между свободно движущимися частицами. В трансверсально-трассированной (TT) калибровке изменение метрики описывается так:

ds2 = −c2dt2 + [δij + hij(t − z/c)]dxidxj

Для волны, распространяющейся вдоль оси z, это приводит к характерному «растяжению-сжатия» в поперечной плоскости, соответствующему поляризациям + и ×.

Гравитационные волны и космология

Гравитационные волны могут нести информацию о ранней Вселенной, включая инфляционный этап. Флуктуации вакуума в инфляции порождают реликтовый гравитационный фон — аналог микроволнового фона, но для тензорных возмущений.

Кроме того, гравитационные волны могут служить «стандартными сиренами» (аналог стандартных свечей) — если известна форма волны и масса источника, можно оценить расстояние до него без использования космической лестницы расстояний.

Релятивистские эффекты и нелинейности

Хотя в большинстве задач используется линейная теория, вблизи слияния чёрных дыр необходимо учитывать полную нелинейную динамику уравнений Эйнштейна. Это стало возможным благодаря развитию численной релятивистики, особенно после 2005 года. Численные симуляции дают полный сигнал: инспирал (сближение), мерджер (слияние), и рингдаун (затухающее колебание результирующей чёрной дыры).

Результаты численного моделирования используются для построения шаблонов, которые затем сопоставляются с данными детекторов.

Оценка амплитуды и характеристики сигналов

Типичная амплитуда гравитационной волны на Земле составляет:

$$ h \sim \frac{2G}{c^4} \cdot \frac{E_{\text{GW}}}{r} $$

Для слияния чёрных дыр с массами порядка нескольких солнечных масс на расстоянии 400 Мпк амплитуда достигает h ∼ 10−21.

Это значение исключительно мало, что требует чрезвычайной чувствительности детекторов — длина плеч интерферометра должна быть стабильна на уровне 10−18 м или лучше.

Спектральные характеристики

Разные источники гравитационных волн занимают разные частотные диапазоны:

  • Наземные детекторы (LIGO, Virgo): от десятков Гц до килогерц — чувствительны к слияниям чёрных дыр и нейтронных звёзд.
  • Космические детекторы (LISA): от 10−4 до 10−1 Гц — двойные белые карлики, массивные чёрные дыры.
  • Тайминговые массивы пульсаров (PTA): 10−9 − 10−7 Гц — массивные двойные чёрные дыры на ранней стадии слияния.
  • Реликтовый фон: сверхнизкие частоты ( < 10−15 Гц) — инфляционные волны.

Математическое описание в TT-калибровке

В калибровке трансверсально-трассированной формы гравитационной волны, распространяющейся вдоль оси z, ненулевыми остаются только компоненты hxx = −hyy = h+(t − z/c) и hxy = hyx = h×(t − z/c).

Матрица возмущения метрики:

$$ h_{ij}(t) = \begin{pmatrix} h_+ & h_× & 0 \\ h_× & -h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Такая форма наглядно демонстрирует поляризационные деформации — плюс вызывает растяжение по одной оси и сжатие по перпендикулярной, а крест поворачивает эти оси на 45°.

Теоретические обобщения

За пределами ОТО возможны модифицированные теории гравитации (например, скалярно-тензорные теории, теории f(R), би-метрические модели), которые могут предсказывать дополнительные степени свободы гравитационных волн — новые поляризации, отличающиеся от + и ×. Поиск таких отклонений является одним из направлений современной фундаментальной физики.

Также активно исследуются квантовые аспекты гравитационных волн, включая возможность их квантования (гравитоны) и влияние на флуктуации метрического поля в рамках квантовой теории поля на искривлённом фоне.