В квантовой механике измерение времени и энергии является фундаментально асимметричным по сравнению с другими каноническими парами, такими как координата и импульс. Для последних можно строго ввести сопряжённые операторы, удовлетворяющие соотношению коммутации Гейзенберга. Однако для времени ситуация сложнее: время в стандартной формулировке квантовой теории выступает в качестве параметра эволюции волновой функции, а не как наблюдаемая величина, представляемая самосопряжённым оператором.
Тем не менее в аттосекундной физике, где рассматриваются процессы на сверхкоротких временных масштабах, необходимо оперировать квантовыми аналогами времени и частоты, чтобы описывать динамику электронов и взаимодействие с ультракороткими импульсами. Это приводит к необходимости введения операторов времени и частоты в расширенной квантово-оптической и спектральной формулировке.
Попытки определить оператор времени восходят к Паули, который показал, что строго самосопряжённый оператор времени, сопряжённый с гамильтонианом, не может существовать для систем с ограниченным снизу спектром энергии. Однако в ряде подходов вводятся квазиили обобщённые операторы времени, действующие в энергетическом представлении.
В энергетическом базисе оператор времени можно формально записать как
$$ \hat{T} = i\hbar \frac{\partial}{\partial E}, $$
где производная берётся по спектральной переменной энергии. Такой оператор действует на энергетические амплитуды и является аналогом координатного оператора в импульсном представлении. Хотя T̂ не является корректным самосопряжённым оператором для всех систем, он оказывается полезным в описании переходных процессов и временных задержек в фотоэмиссии.
Особое значение этот оператор приобретает в аттосекундной спектроскопии задержек, где измеряется разность прихода электронов, и временной оператор естественным образом связывается с фазовыми характеристиками амплитуд.
Частота в волновом формализме играет роль сопряжённой переменной к времени. В квантовой оптике вводится оператор частоты, который действует в временном представлении следующим образом:
$$ \hat{\omega} = i \frac{\partial}{\partial t}. $$
Здесь время t рассматривается как независимая переменная, а оператор ω̂ действует аналогично оператору импульса в координатном пространстве. В спектральных разложениях этот оператор соответствует умножению на частотную переменную:
ω̂f̃(ω) = ωf̃(ω),
что делает его диагональным в частотном представлении.
Таким образом, T̂ и ω̂ составляют обобщённую каноническую пару, формализующую преобразование Фурье между временной и частотной областями.
Для операторов времени и частоты справедливо аналогичное соотношение неопределённости, как и для координаты с импульсом:
[T̂, ω̂] = i.
Из этого следует соотношение неопределённостей:
$$ \Delta T \, \Delta \omega \geq \frac{1}{2}. $$
Это неравенство определяет пределы локализации сигнала во временной и частотной областях. Именно поэтому аттосекундные импульсы, обладая экстремально короткой длительностью, имеют чрезвычайно широкий спектр, охватывающий десятки электрон-вольт.
На аттосекундных временах операторное описание времени и частоты необходимо для анализа процессов взаимодействия света с веществом:
Аттосекундная физика базируется на принципиальном дуализме временной и частотной областей. Любой импульс описывается двумя взаимодополняющими представлениями:
Формализм операторов времени и частоты позволяет перейти от интуитивного описания к строгому квантово-механическому анализу, учитывающему все ограничения, накладываемые соотношениями неопределённости и структурой гамильтониана.