Инварианты электромагнитного поля

Инвариантность в теории относительности и электродинамике

В специальной теории относительности физические законы должны сохранять свою форму при переходе между инерциальными системами отсчёта. Это требование лежит в основе преобразований Лоренца и определяет поведение физических величин при изменении системы отсчёта. Электромагнитное поле, описываемое в терминах векторов электрического поля E и магнитного поля B, трансформируется под действием этих преобразований, однако существует набор скалярных величин — инвариантов, которые остаются неизменными при любой лоренцовой трансформации.

Такие инварианты играют ключевую роль в понимании природы электромагнитного поля и его фундаментальных свойств. Они позволяют судить о свойствах поля независимо от выбора системы отсчёта и дают возможность формулировать законы физики в ковариантной форме.

Тензор электромагнитного поля

Для лаконичного и инвариантного описания электромагнитного поля в специальной теории относительности вводится электромагнитный тензор второго ранга:

$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \\ \end{pmatrix} $$

Этот тензор объединяет электрическое и магнитное поля в единое геометрическое описание, где компоненты поля рассматриваются как части единого антисимметричного объекта. Такой подход позволяет легко записывать уравнения Максвелла в ковариантной форме, а также выявлять лоренц-инвариантные комбинации компонентов поля.

Первый электромагнитный инвариант

Первым важнейшим лоренц-инвариантом является скалярная комбинация:

$$ I_1 = \frac{1}{2} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} $$

В терминах векторов E и B это выражается как:

$$ I_1 = \mathbf{B}^2 - \frac{1}{c^2} \mathbf{E}^2 $$

Этот инвариант показывает разность между квадратом магнитного поля и квадратом электрического поля (с поправкой на размерности). Величина I₁ позволяет охарактеризовать доминирующий тип поля:

Если I₁ > 0, поле преимущественно магнитное.
Если I₁ < 0, поле преимущественно электрическое.
Если I₁ = 0, это может означать наличие волноподобного (излучающего) поля, например в случае плоской электромагнитной волны.

Второй электромагнитный инвариант

Второй инвариант определяется с помощью двойственного тензора:

$$ \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\alpha\beta} $$

где ε^μναβ — абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чивиты. Тогда второй инвариант определяется как:

$$ I_2 = \frac{1}{4} \varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta} F^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} = \mathbf{E} \cdot \mathbf{B} $$

Таким образом, второй инвариант есть скалярное произведение электрического и магнитного полей. Он также не меняется при преобразованиях Лоренца.

Физическая интерпретация:

Если I₂ ≠ 0, электрическое и магнитное поля в данной точке неортогональны.
Если I₂ = 0, поля ортогональны либо одно из них равно нулю.
Если одновременно I₁ = 0 и I₂ = 0, это означает, что существует система отсчёта, в которой оба поля исчезают, и поле можно интерпретировать как чистую электромагнитную волну.

Классификация полей по инвариантам

Инварианты позволяют ввести классификацию электромагнитных полей по их структуре и физическим свойствам:

Электрическое поле: I₁ < 0, I₂ = 0. Пример: покоящийся точечный заряд.
Магнитное поле: I₁ > 0, I₂ = 0. Пример: поле бесконечного прямолинейного тока.
Плоская волна: I₁ = 0, I₂ = 0. Пример: плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме.
Общее электромагнитное поле: I₂ ≠ 0. Нет системы отсчёта, в которой одновременно можно устранить E или B.

Преобразования поля и существование системы с чисто электрическим или чисто магнитным полем

Благодаря инвариантам можно ответить на вопрос, существует ли система отсчёта, в которой магнитное (или электрическое) поле отсутствует. Это возможно, если I₂ = 0. Например:

Если I₁ < 0, I₂ = 0, то существует система, в которой B′ = 0, а остаётся только E′.
Если I₁ > 0, I₂ = 0, то существует система, где E′ = 0, а остаётся только B′.
Если I₂ ≠ 0, то ни электрическое, ни магнитное поле нельзя устранить целиком ни в какой системе отсчёта.

Применение инвариантов в физике поля и квантовой электродинамике

Инварианты электромагнитного поля играют фундаментальную роль не только в классической теории, но и в квантовой электродинамике и теории гравитации. В частности:

В лагранжиане Максвелла инварианты I₁ и I₂ входят как основные составляющие. Лагранжиан для вакуума имеет вид:

$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \left( \mathbf{E}^2 - \mathbf{B}^2 \right) $$

В нелинейных теориях, например в лагранжиане Эйлера–Гейзенберга, которые учитывают квантовые эффекты (поляризация вакуума), функции зависят от I₁ и I₂, что сохраняет лоренц-инвариантность:

ℒ = f(I₁, I₂)

В общей теории относительности инварианты используются при построении тензора энергии-импульса электромагнитного поля и при рассмотрении взаимодействия электромагнитного поля с гравитацией.

Примеры вычисления инвариантов

Покоящийся точечный заряд:

$$ \mathbf{E} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\mathbf{r}}{r^3}, \quad \mathbf{B} = 0 $$

$$ I_1 = -\frac{1}{c^2} \mathbf{E}^2 < 0, \quad I_2 = 0 $$

⇒ чисто электрическое поле.

Прямая бесконечная проволока с постоянным током:

$$ \mathbf{E} = 0, \quad \mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \hat{\varphi} $$

I₁ = B² > 0, I₂ = 0

⇒ чисто магнитное поле.

Плоская электромагнитная волна в вакууме:

$$ \mathbf{E} = E_0 \cos(kx - \omega t) \hat{y}, \quad \mathbf{B} = \frac{E_0}{c} \cos(kx - \omega t) \hat{z} $$

I₁ = 0, I₂ = E ⋅ B = 0

⇒ инварианты нулевые, характерны для излучения.

Инварианты как основа геометрии поля

Использование I₁ и I₂ позволяет рассматривать электромагнитное поле как геометрический объект в пространстве Минковского. Они аналогичны скалярным инвариантам, строимым из тензора кривизны в гравитационной теории, и служат строительными блоками для любых ковариантных лагранжианов и уравнений движения. Эти инварианты — одни из немногих количественных характеристик поля, не зависящих от наблюдателя, и именно поэтому их роль в современной теоретической физике фундаментальна.