Граничные условия на поверхности раздела сред
Рассмотрим поведение электромагнитной волны при переходе из одной среды в другую. Пусть имеется граница между двумя однородными, изотропными и линейными средами с электрическими постоянными ε₁, ε₂ и магнитными проницаемостями μ₁, μ₂. Волна падает из первой среды под углом θ₁ на границу, вызывая отражённую и преломлённую волны.
Чтобы определить амплитуды отражённой и преломлённой волн, необходимо воспользоваться граничными условиями на поверхности раздела, вытекающими из уравнений Максвелла:
Тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей непрерывны:
E⃗1t = E⃗2t, H⃗1t = H⃗2t
Нормальные компоненты индукций подчиняются условиям:
D2n − D1n = σпов, B2n = B1n
Для случая без поверхностных зарядов и токов (σ_пов = 0, j_пов = 0) граничные условия существенно упрощаются.
Закон отражения и закон преломления
Из граничных условий следует, что при падении плоской электромагнитной волны:
Угол отражения равен углу падения:
θr = θi
Закон Снеллиуса для преломления:
$$ \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} $$
где $n_i = \sqrt{\varepsilon_i \mu_i}$ — показатель преломления среды, а $v_i = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_i \mu_i}}$ — фазовая скорость волны в среде.
Коэффициенты отражения и преломления. Формулы Френеля
Для количественного анализа амплитуд полей используется разложение падающей, отражённой и преломлённой волн. Решение зависит от поляризации:
Пусть вектор E падающей волны перпендикулярен плоскости падения (обычно принимаемой за плоскость xz). В этом случае векторы магнитного поля лежат в плоскости падения. Обозначим амплитуды электрического поля падающей, отражённой и преломлённой волн как Ei, Er, Et.
Коэффициенты отражения и преломления:
$$ r_\perp = \frac{n_1 \cos \theta_1 - n_2 \cos \theta_2}{n_1 \cos \theta_1 + n_2 \cos \theta_2}, \quad t_\perp = \frac{2 n_1 \cos \theta_1}{n_1 \cos \theta_1 + n_2 \cos \theta_2} $$
где $r_\perp = \frac{E_r}{E_i}$, $t_\perp = \frac{E_t}{E_i}$.
Теперь вектор E лежит в плоскости падения. В этом случае:
$$ r_\parallel = \frac{n_2 \cos \theta_1 - n_1 \cos \theta_2}{n_2 \cos \theta_1 + n_1 \cos \theta_2}, \quad t_\parallel = \frac{2 n_1 \cos \theta_1}{n_2 \cos \theta_1 + n_1 \cos \theta_2} $$
Эти формулы известны как формулы Френеля. Они описывают, какая часть энергии отражается, а какая проходит в новую среду.
Поглощение и комплексный показатель преломления
Если среда поглощает электромагнитную волну, то показатель преломления становится комплексным:
n = n′ + iκ
где κ — коэффициент затухания. Тогда отражённая и преломлённая волны будут экспоненциально убывать в глубине поглощающей среды. Это приводит к появлению затухающей волны, особенно при полном внутреннем отражении.
Если волна падает из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим, и угол падения превышает критический угол:
$$ \theta_c = \arcsin \left( \frac{n_2}{n_1} \right) $$
то θ2 становится мнимым, и преломлённой волны в обычном смысле не существует. Возникает еванесцентная волна, экспоненциально затухающая в менее плотной среде. Поле не исчезает полностью за границей, что важно для таких явлений, как туннелирование и оптоволоконная передача.
Зависимость отражения от угла падения. Угол Брюстера
Особый интерес представляет угол Брюстера, при котором отражённая волна с p-поляризацией исчезает полностью. Это происходит, когда отражённый и преломлённый лучи становятся взаимно перпендикулярными:
$$ \tan \theta_B = \frac{n_2}{n_1} $$
При этом угол отражения θr и преломления θt удовлетворяют условию θr + θt = 90∘. Отражение исчезает только для p-поляризованного света, в то время как s-поляризованный свет отражается при любом угле.
Закон сохранения энергии. Поток Пойнтинга
Для проверки соблюдения закона сохранения энергии вводят вектор Пойнтинга:
$$ \vec{S} = \frac{c}{4\pi} \vec{E} \times \vec{H} $$
При отражении и преломлении справедлив баланс потоков:
Sicos θi = Srcos θr + Stcos θt
Здесь используются средние значения потоков, усреднённые по времени, поскольку волны гармонические. Этот баланс показывает, что суммарная мощность отражённой и преломлённой волн равна мощности падающей, если отсутствует поглощение.
Отражение на границе металл — диэлектрик
Если вторая среда — идеальный проводник, то n2 → ∞, и вся волна отражается. При этом на границе индуцируются поверхностные токи, которые создают отражённую волну. Для p-поляризации отражённая волна меняет фазу на π, а для s-поляризации — в зависимости от условий. Вблизи границы возникает стоячая волна, возникающая в результате интерференции падающей и отражённой волн.
Интерференция при отражении. Тонкие плёнки
При отражении от нескольких границ (например, от верхней и нижней поверхностей тонкой плёнки) возникают интерференционные эффекты. Падающая волна многократно отражается и интерферирует с собой. Условия максимума и минимума интенсивности определяются разностью хода и фазовым сдвигом при отражении:
Δ = 2ndcos θ + δ
где d — толщина плёнки, δ — фазовый сдвиг (обычно π при отражении от среды с более высоким показателем преломления). Эти явления используются, например, в антибликовых покрытиях, интерференционных фильтрах и в спектроскопии.
Преломление в анизотропных и диспергирующих средах
В более сложных случаях, таких как анизотропные среды (например, кристаллы), волна может распадаться на обычную и необычную компоненты, распространяющиеся с различными скоростями. Это приводит к явлению двойного лучепреломления. Кроме того, в диспергирующих средах (где показатель преломления зависит от частоты) углы отражения и преломления становятся функцией частоты, что важно для описания цветовых эффектов, таких как радуга и хроматическая аберрация.
Обобщение: матричный подход и волноводы
При анализе многослойных структур удобно использовать матричный метод переноса, позволяющий вычислять отражение и прохождение волн через последовательность слоёв. Этот подход особенно важен в фотонике и оптоэлектронике. В волноводах и резонаторах отражение на границах играет ключевую роль в формировании собственных мод, стоячих волн и резонансов.