Теория возмущений для быстропротекающих процессов

Теория возмущений является фундаментальным инструментом в современной фемтофизике, позволяя анализировать поведение квантовых систем под воздействием малых внешних влияний. Для быстропротекающих процессов, происходящих на фемтосекундных и субфемтосекундных временных масштабах, традиционные методы стационарной квантовой механики оказываются недостаточно эффективными. В этих условиях теория возмущений позволяет описывать динамику системы, учитывая временную зависимость возмущения.

Временная формулировка теории возмущений

Для системы, описываемой гамильтонианом H₀ с известными собственными состояниями |n⟩ и собственными значениями E_n, внешнее воздействие вводится через временной оператор возмущения V(t):

H(t) = H₀ + V(t)

Эволюция состояния системы под действием возмущения определяется уравнением Шредингера в единицах ℏ = 1:

$$ i \frac{d}{dt} |\psi(t)\rangle = H(t) |\psi(t)\rangle $$

Разложение состояния системы по собственным состояниям невозмущённого гамильтониана:

|ψ(t)⟩ = ∑_nc_n(t)e^−iE_nt|n⟩

Приводит к системе дифференциальных уравнений для амплитуд c_n(t):

$$ i \frac{d c_m(t)}{dt} = \sum_n V_{mn}(t) c_n(t) e^{i (E_m - E_n) t}, \quad V_{mn}(t) = \langle m | V(t) | n \rangle $$

Эта формулировка является базой временной теории возмущений, применимой к фемтосекундным процессам.

Асимптотическое разложение и первый порядок возмущений

Для слабых возмущений удобно использовать разложение по степеням V:

c_m(t) = c_m⁽⁰⁾ + c_m⁽¹⁾(t) + c_m⁽²⁾(t) + …

где

c_m⁽¹⁾(t) = −i∫_t₀^tV_mn(t′)e^{i(E_m − E_n)t′}dt′

Первый порядок теории возмущений адекватно описывает одноквантовые переходы, характерные для фотонных взаимодействий на фемтосекундных шкалах. Важно отметить, что для быстрых процессов временные интегралы становятся чрезвычайно чувствительными к фазовому сдвигу, что проявляется в виде когерентного управления переходами.

Применение для многоквантовых процессов

Для многоквантовых и нелинейных эффектов необходимо учитывать вторые и высшие порядки возмущений:

c_m⁽²⁾(t) = (−i)²∑_k∫_t₀^tdt₁∫_t₀^t₁dt₂ V_mk(t₁)V_kn(t₂)e^{i(E_m − E_k)t₁}e^{i(E_k − E_n)t₂}

Этот подход позволяет описывать процессы многофотонной и когерентной абсорбции, которые критически важны в исследованиях ультракоротких лазерных импульсов.

Связь с фурье-спектральным анализом

Для фемтосекундных импульсов временная зависимость возмущения V(t) часто представляется в виде модулированного сигнала:

V(t) = V₀f(t)cos (ωt + ϕ)

где f(t) — огибающая импульса. Через преобразование Фурье можно выразить амплитуды переходов:

c_m⁽¹⁾(∞) ∼ Ṽ_mn(ω_mn) = ∫_−∞^∞V_mn(t)e^iω_mntdt, ω_mn = E_m − E_n

Это показывает, что спектральная структура возмущения напрямую определяет вероятность переходов, а для ультракоротких импульсов спектр широк, что позволяет инициировать несколько переходов одновременно.

Когерентные эффекты и интерференция

На фемтосекундных масштабах амплитуды переходов могут интерферировать. Для двух путей перехода n → k → m и n → l → m результирующая амплитуда второго порядка:

c_m⁽²⁾ = c_m⁽²⁾[k] + c_m⁽²⁾[l]

и вероятность перехода зависит от фазовой разности между путями:

P_m⁽²⁾ = |c_m⁽²⁾|² = |c_m⁽²⁾[k] + c_m⁽²⁾[l]|²

Эти эффекты лежат в основе когерентного управления химическими реакциями и синхронного возбуждения электронных переходов в молекулах.

Ограничения и применимость теории

Несмотря на универсальность, теория возмущений имеет ограничения:

Слабость возмущения — порядок амплитуды V(t) должен быть мал по сравнению с H₀.
Временной масштаб — для процессов, сравнимых с характерным временем колебаний системы, необходимо учитывать высшие порядки.
Декогеренция — во взаимодействии с окружением когерентные суперпозиции распадаются, что ограничивает применимость теории к изолированным или хорошо контролируемым системам.