Уравнения движения для ультракоротких процессов

Основные принципы фемтофизики

Фемтофизика изучает процессы, происходящие на временных масштабах порядка фемтосекунд (10⁻¹⁵ с). На этих временных интервалах классические уравнения движения, применяемые в макроскопической физике, оказываются недостаточными, так как квантовые эффекты становятся решающими. Уравнения движения для ультракоротких процессов требуют учета одновременно:

Квантовой природы частиц и полей.
Коэрентных межатомных и межмолекулярных взаимодействий.
Воздействия сверхкоротких лазерных импульсов на систему.

Квантово-корректированные уравнения движения

Для описания динамики электронов и ядер в фемтосекундных процессах используется обобщённая форма уравнения Шрёдингера:

$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r},t), $$

где Ĥ — гамильтониан системы, учитывающий взаимодействие с внешним полем, а Ψ(r, t) — волновая функция, зависящая от координат и времени. Для ультракоротких импульсов гамильтониан часто разбивается на:

Ĥ = Ĥ₀ + V̂(t),

где Ĥ₀ описывает внутреннюю структуру системы (например, электронные оболочки атомов или молекул), а V̂(t) — взаимодействие с лазерным полем, интенсивность и форма которого могут изменяться на фемтосекундных масштабах.

Полуклассический подход

Для более сложных систем, где точное квантовое решение невозможно, используется полуклассический подход. Здесь ядра рассматриваются как классические частицы, подчиняющиеся уравнениям движения Ньютона, а электроны — как квантовые объекты. Уравнения движения для ядер имеют вид:

$$ M_i \frac{d^2 \mathbf{R}_i}{dt^2} = -\nabla_i E_\text{el}(\{\mathbf{R}_j\}, t), $$

где M_i — масса i-го ядра, R_i — его координаты, а E_el — электронная энергия, которая зависит от положения всех ядер и времени. Такая формулировка лежит в основе методов аб и initio molecular dynamics, применяемых для моделирования фемтосекундной динамики молекул.

Уравнения движения в поле ультракоротких импульсов

Взаимодействие с сильным ультракоротким лазерным импульсом требует учета нестационарного внешнего поля. Для одного электрона в поле лазера уравнение движения в длиноволновой аппроксимации (dipole approximation) принимает вид:

$$ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left[ \hat{H}_0 - e \mathbf{E}(t) \cdot \mathbf{r} \right] \Psi(\mathbf{r},t), $$

где E(t) — временной профиль электрического поля. Решение этого уравнения позволяет описать процессы многократной ионизации, когерентного возбуждения и туннельной динамики на фемтосекундных интервалах.

Метод разложения по состояниям

Для практических вычислений часто используют разложение волновой функции по собственным состояниям ϕ_n невозмущённого гамильтониана:

Ψ(r, t) = ∑_nc_n(t)ϕ_n(r),

где c_n(t) — временные амплитуды. Подставляя это разложение в уравнение Шрёдингера, получаем систему дифференциальных уравнений для амплитуд:

$$ i \hbar \frac{d c_n}{dt} = \sum_m V_{nm}(t) c_m(t), $$

где V_nm(t) = ⟨ϕ_n|V̂(t)|ϕ_m⟩. Этот метод позволяет учитывать переходы между энергетическими уровнями системы под воздействием ультракороткого импульса и вычислять вероятность различных процессов, таких как возбуждение или ионизация.

Учет релаксации и декогеренции

На фемтосекундных масштабах процессы декогеренции часто сопоставимы по времени с самим внешним воздействием. Для включения этих эффектов уравнения движения дополняются термическими и диссипативными членами. В квантовой форме это описывается уравнением Линдефельда для матрицы плотности ρ:

$$ \frac{d \rho}{dt} = -\frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \rho] + \mathcal{L}[\rho], $$

где ℒ[ρ] — оператор Линдефельда, учитывающий взаимодействие с окружением, испускание фотонов и колебательные потери энергии.

Итоговые аспекты формализма

Уравнения движения фемтофизики объединяют квантовые и классические подходы.
Ключевое значение имеет временная зависимость внешних полей и их коэрентное воздействие на систему.
Методы разложения по состояниям и полуклассический подход позволяют моделировать сложные системы, сохраняя физическую интерпретацию процессов.
Декогеренция и релаксация играют важную роль даже на ультракоротких временных масштабах.

Такой формализм обеспечивает основу для анализа и прогнозирования динамики электронов, атомов и молекул под действием фемтосекундных импульсов, открывая путь к управлению реакциями на квантовом уровне.