Барометрическая формула

Физический смысл барометрической зависимости

Давление в атмосфере уменьшается с увеличением высоты, что связано с уменьшением массы воздуха над наблюдаемой точкой. Барометрическая формула описывает количественную зависимость давления воздуха от высоты в рамках упрощённой модели атмосферы, в которой температура, состав воздуха и ускорение свободного падения считаются постоянными или изменяющимися по заданному закону. Эта формула — одно из фундаментальных уравнений статической атмосферы, получаемое из уравнения гидростатического равновесия.

Гидростатическое уравнение

Атмосфера Земли находится в состоянии близком к гидростатическому равновесию, то есть вертикальная сила давления уравновешивается силой тяжести:

$$ \frac{dP}{dz} = -\rho g $$

где P — атмосферное давление, z — высота, ρ — плотность воздуха, g — ускорение свободного падения.

Это уравнение является основой для вывода барометрической формулы. Однако оно содержит две переменные: давление и плотность. Для получения зависимости давления от высоты необходимо связать ρ и P с помощью уравнения состояния идеального газа.

Уравнение состояния идеального газа для атмосферы

Для сухого воздуха уравнение состояния имеет вид:

P = ρRT

где R — удельная газовая постоянная для сухого воздуха (≈ 287 Дж/(кг·К)), T — температура воздуха.

Подставляя это выражение в уравнение гидростатического равновесия, получаем:

$$ \frac{dP}{dz} = -\frac{P g}{R T} $$

Интегрирование при постоянной температуре

Предположим, что температура воздуха T постоянна с высотой (изотермическая атмосфера). Тогда уравнение переписывается как:

$$ \frac{dP}{P} = -\frac{g}{R T} dz $$

Интегрируя обе части от уровня z₀ (где давление P₀) до произвольной высоты z, получаем:

$$ \ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = -\frac{g}{R T}(z - z_0) $$

или

$$ P = P_0 \cdot \exp\left( -\frac{g(z - z_0)}{R T} \right) $$

Это и есть барометрическая формула для изотермической атмосферы.

Физическая интерпретация и параметры

Показательная зависимость давления от высоты означает, что давление убывает экспоненциально. Характерной величиной в этом выражении является высота шкалы:

$$ H = \frac{R T}{g} $$

Она показывает, на какую высоту нужно подняться, чтобы давление уменьшилось в e раз (примерно в 2,718). При температуре T = 288 K, типичной для тропосферы, получаем:

$$ H \approx \frac{287 \cdot 288}{9.81} \approx 8.4 \, \text{км} $$

Таким образом, давление убывает примерно в e раз каждые 8,4 км при постоянной температуре.

Барометрическая формула при изменяющейся температуре

На практике температура атмосферы убывает с высотой. В нижней атмосфере, особенно в тропосфере, этот градиент близок к линейному. В таком случае температуру можно представить как:

T(z) = T₀ − Γ(z − z₀)

где Γ — вертикальный градиент температуры (в атмосфере обычно ≈ 6.5 К/км), T₀ — температура на уровне z₀.

Тогда уравнение состояния и уравнение гидростатического равновесия дают:

$$ \frac{dP}{P} = -\frac{g}{R (T_0 - \Gamma (z - z_0))} dz $$

Интегрируя, получаем барометрическую формулу с линейным температурным градиентом:

$$ P = P_0 \left(1 - \frac{\Gamma (z - z_0)}{T_0} \right)^{\frac{g}{R \Gamma}} $$

Эта формула более точно описывает вертикальное распределение давления в тропосфере и используется в стандартной атмосфере.

Барометрическая формула в координатах плотности

Если выразить зависимость не давления, а плотности воздуха от высоты, то при изотермическом предположении:

$$ \rho = \rho_0 \cdot \exp\left( -\frac{g(z - z_0)}{R T} \right) $$

где ρ₀ — плотность воздуха у поверхности.

Аналогично, при линейном уменьшении температуры с высотой:

$$ \rho = \rho_0 \left(1 - \frac{\Gamma(z - z_0)}{T_0}\right)^{\frac{g}{R\Gamma} - 1} $$

Эти выражения важны при анализе атмосферной стратификации, оценки подъёмной силы и расчёта высотомеров.

Применение барометрической формулы

Барометрическая формула широко используется в метеорологии, авиации, геофизике и инженерных расчётах. На её основе:

рассчитываются значения давления на различных высотах при анализе радиозондов;
калибруются барометрические высотомеры;
оценивается масса атмосферы и распределение плотности;
разрабатываются модели стандартной атмосферы.

Ограничения применения

Барометрическая формула основана на ряде упрощающих предположений:

температура либо постоянна, либо изменяется по заданному градиенту;
атмосфера рассматривается как покоящаяся и однородная по составу;
отсутствуют ветры, турбулентность и другие динамические процессы;
ускорение свободного падения g принимается постоянным.

В реальной атмосфере эти условия часто нарушаются, особенно на больших высотах, в условиях сильных потоков, влажности, конвекции. Поэтому барометрическая формула — это приближённый, но чрезвычайно важный инструмент для первых оценок и моделирования в атмосферной физике.

Барометрическая формула и влажная атмосфера

Во влажной атмосфере необходимо учитывать содержание водяного пара. Тогда вместо R используется эффективная газовая постоянная R_m, зависящая от удельной влажности воздуха:

R_m = R_d(1 + 0.61q)

где R_d — газовая постоянная для сухого воздуха, q — удельная влажность воздуха.

Таким образом, влажный воздух имеет меньшую плотность при том же давлении, что влияет на вертикальное распределение давления и плотности.

Выводы и обобщения

Барометрическая формула — один из краеугольных камней физики атмосферы. Её применение выходит далеко за пределы теоретических задач: она лежит в основе большинства измерений высоты, давления, стратификации, определения характеристик атмосферы на различных высотах. Несмотря на упрощения, она остаётся фундаментальной моделью, позволяющей связать макроскопические параметры атмосферы с её вертикальной структурой.