Механизмы диссипации турбулентной энергии в атмосфере
В турбулентном потоке энергия вводится на крупных масштабах за счёт внешних источников (градиентов давления, подогрева подстилающей поверхности, орографических препятствий и др.). Эта энергия далее каскадирует к меньшим масштабам посредством нелинейных взаимодействий между вихрями разного размера — процесс, известный как энергетический каскад. Однако этот процесс не может продолжаться бесконечно: на определённой длине волны (диссипативном масштабе) энергия начинает рассеиваться в виде тепла вследствие молекулярной вязкости воздуха.
Вязкость воздуха, несмотря на её малую величину в обычных условиях, играет ключевую роль в механизме диссипации: она обеспечивает превращение механической энергии в тепловую. Этот переход происходит на очень мелких масштабах, где скорости градиентов становятся достаточно большими, чтобы молекулярные силы начали активно влиять на динамику потока.
В теории однородной и изотропной турбулентности Колмогорова выделяются три характерные области в спектре турбулентной энергии:
Диссипативная область характеризуется резким спадом спектральной плотности энергии, который экспоненциально убывает. Типично, спектральная плотность турбулентной энергии E(k) в инерционном диапазоне подчиняется закону Колмогорова:
E(k) = C ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации турбулентной энергии на единицу массы, k — волновое число, C — константа Колмогорова.
В диссипативной области, когда k ≫ kη, где kη ∼ 1/η — волновое число, соответствующее длине Колмогорова η, спектр принимает форму:
E(k) ∼ exp (−β(k/kη)),
где β — безразмерный коэффициент.
Диссипативные масштабы Колмогорова представляют собой длины, на которых кинетическая энергия переходит в тепловую. Они определяются из условия равенства времени нелинейного взаимодействия и времени вязкого рассеяния:
$$ \eta = \left( \frac{\nu^3}{\varepsilon} \right)^{1/4}, \quad v_\eta = \left( \nu \varepsilon \right)^{1/4}, \quad \tau_\eta = \left( \frac{\nu}{\varepsilon} \right)^{1/2}, $$
где ν — кинематическая вязкость воздуха, vη — характерная скорость на диссипативном масштабе, τη — соответствующее время.
Эти параметры зависят как от физико-химических свойств среды, так и от уровня турбулентности. При типичных значениях ε ∼ 10−3 м2/с3 и ν ∼ 1.5 × 10−5 м2/с, длина Колмогорова составляет порядка η ∼ 0.5 мм, а время — доли миллисекунды.
Ключевой характеристикой является скорость диссипации энергии ε, определяемая как:
$$ \varepsilon = 2 \nu \overline{S_{ij} S_{ij}}, $$
где Sij — тензор скоростных градиентов (симметрическая часть тензора деформации). В статистически стационарной турбулентности средняя скорость диссипации равна потоку энергии через инерционный диапазон спектра.
Измерение ε в атмосфере требует высокой точности в регистрации микромасштабных колебаний скоростей, что осуществляется с помощью горячих проволок или акустических анемометров, установленных на мачтах или бортах самолётов. В условиях пограничного слоя атмосферы значения ε могут колебаться от 10−5 до 10−2 м2/с3, в зависимости от времени суток, типа подстилающей поверхности и наличия конвективных процессов.
Несмотря на то, что теория Колмогорова предполагает изотропность и однородность на мелких масштабах, реальные атмосферные условия вносят значительные коррективы. Анизотропия может сохраняться до самых малых масштабов, особенно в условиях сильных вертикальных градиентов температуры или наличия сдвига ветра. В таких случаях векторные и скалярные поля могут демонстрировать существенные отклонения от классической картины.
Также неоднородность проявляется в вертикальном профиле: например, у поверхности Земли, особенно над сушей днём, наблюдается усиленная турбулентность, связанная с прогревом, и, как следствие, увеличенная скорость диссипации. В ночное время при радиационном охлаждении и формировании устойчивого слоя происходит значительное ослабление турбулентности и снижение ε.
Состояние стратификации атмосферы существенно влияет на диссипацию. В устойчиво стратифицированной среде вертикальные перемещения подавлены, что приводит к снижению эффективности каскада и уменьшению диссипации. Наоборот, в условиях неустойчивой стратификации (конвективных условий) возникают интенсивные вертикальные движения, активизирующие турбулентность и ускоряющие каскад энергии к мелким масштабам.
Сдвиги ветра способствуют усилению сдвиговой турбулентности, при этом генерация вихрей, особенно в слое механической турбулентности (примерно до 100–300 м), может быть столь интенсивной, что диссипация достигает локальных максимумов.
Уравнение баланса турбулентной кинетической энергии (ТКЭ) включает несколько членов:
$$ \frac{D e}{Dt} = P + B - \varepsilon - T, $$
где:
Диссипация ε является единственным поглощающим членом этого баланса. Она обеспечивает замыкание турбулентного энергетического цикла, предотвращая бесконечный рост турбулентной энергии. В устойчивом турбулентном режиме ε ≈ P + B, что отражает квазистационарное состояние потока.
В численных моделях атмосферы (например, в глобальных или мезомасштабных прогнозных моделях) мелкомасштабные турбулентные процессы не могут быть разрешены явно из-за ограниченного разрешения сетки. Поэтому необходимо параметризовать эффект диссипации. Обычно это делается через представление ε в виде:
$$ \varepsilon = C_\varepsilon \frac{e^{3/2}}{l}, $$
где Cε — эмпирическая константа порядка единицы, l — характерный масштаб турбулентности (например, длина Смогоровского, длина перемешивания).
Такие схемы используются в моделях замкнутой турбулентности нулевого, первого и второго порядка (например, схемы K-подобия, Mellor–Yamada и др.), и критичны для правильной оценки вертикального перемешивания, переноса тепла, влаги и загрязняющих веществ.
Аналогично кинетической энергии, в атмосфере также диссипируются скалярные поля — температура, влажность, концентрации химических примесей. Скорость диссипации скаляра χ определяется как:
$$ \chi = 2 D \, \overline{|\nabla \theta'|^2}, $$
где D — коэффициент молекулярной диффузии, θ′ — флуктуации потенциалной температуры.
Хотя молекулярная диффузия чрезвычайно мала, на очень тонких шкалах она приводит к выравниванию скалярных градиентов, аналогично вязкому сглаживанию скоростных полей. Понимание этого процесса особенно важно в задачах загрязнения атмосферы, турбулентного переноса тепла и влажности.
Диссипация является завершающим звеном в турбулентной энергетической цепи, обеспечивая термодинамически необходимый переход механической энергии в тепло. Этот процесс охватывает тончайшие масштабы и оказывает существенное влияние на структуру атмосферного пограничного слоя, обменные процессы и точность численного моделирования атмосферы.