Энергетика турбулентности

В турбулентной атмосфере кинетическая энергия перемещается между различными масштабами движения — от крупных вихрей, обусловленных макроскопическими неоднородностями (например, орографией, градиентами температуры и давления), к мелкомасштабным вихревым структурам, где энергия в конечном итоге диссипирует за счёт вязкости. Это иерархическое перераспределение энергии — фундаментальное свойство турбулентности, лежащее в основе её энергетического анализа.

Кинетическая энергия турбулентности определяется как

$$ E = \frac{1}{2} \overline{u_i' u_i'} = \frac{1}{2} \left( \overline{u'^2} + \overline{v'^2} + \overline{w'^2} \right), $$

где u′, v′, w′ — турбулентные пульсации компонент скорости по трём направлениям, а знак надчёркивания означает осреднение по ансамблю или времени.

Уравнение кинетической энергии турбулентности (TKE)

Для количественного описания динамики турбулентной энергии используется уравнение баланса турбулентной кинетической энергии (TKE — Turbulent Kinetic Energy). Оно получается из уравнений Навье–Стокса путём осреднения по Рейнольдсу:

$$ \frac{\partial E}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial E}{\partial x_j} = P + B - \varepsilon - T + \Phi, $$

где:

P — скорость производства турбулентной энергии за счёт сдвига (механическое производство),
B — скорость производства (или поглощения) турбулентной энергии за счёт плавучести (термическое производство),
ε — скорость диссипации энергии,
T — турбулентный перенос TKE,
Φ — молекулярный (в основном пренебрежимо малый в атмосфере) диффузионный перенос.

Механическое производство энергии P

Происходит вследствие взаимодействия средних градиентов скорости с турбулентными пульсациями:

$$ P = - \overline{u'_i u'_j} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}. $$

Наиболее важный вклад в атмосфере даёт вертикальный градиент горизонтальной скорости (ветра) в условиях стратифицированной среды:

$$ P \approx - \overline{u'w'} \frac{\partial \overline{u}}{\partial z} - \overline{v'w'} \frac{\partial \overline{v}}{\partial z}. $$

Положительное значение P означает передачу энергии от среднего потока к турбулентным пульсациям.

Тепловое (буйансиное) производство энергии B

Возникает за счёт корреляции вертикальных скоростей с температурными (или плотностными) аномалиями:

$$ B = \frac{g}{\overline{\theta}} \overline{w'\theta'}, $$

где $\overline{w'\theta'}$ — турбулентный поток потенциальной температуры, g — ускорение свободного падения, $\overline{\theta}$ — средняя потенциальная температура.

При неустойчивой стратификации (например, днём над сушей) $\overline{w'\theta'} > 0$, и B > 0: турбулентность усиливается.
При стабильной стратификации (ночью, над охлаждённой поверхностью) $\overline{w'\theta'} < 0$, и B < 0: турбулентность подавляется.

Диссипация турбулентной энергии ε

Является конечным этапом каскада энергии: переходом кинетической энергии в тепловую за счёт вязкости на самых малых масштабах движения.

$$ \varepsilon = 2\nu \overline{s_{ij}' s_{ij}'}, \quad \text{где} \quad s_{ij}' = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i'}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j'}{\partial x_i} \right), $$

где ν — кинематическая вязкость воздуха. Хотя диссипация — микромасштабный процесс, её величина критически важна для замыкания моделей турбулентности.

Спектр энергии и инерционный каскад

Понимание перераспределения энергии между масштабами связано с анализом энергетического спектра. В спектральной форме (по волновому числу k):

В диапазоне больших масштабов (интегральных), энергия поступает от внешних источников (например, градиентов температуры или скорости).
В инерционном интервале происходит почти бездиссипативное каскадирование энергии к малым масштабам. Классическая теория Колмогорова (1941) предсказывает спектр:

E(k) ∝ ε^2/3k^−5/3.

На самых малых масштабах (диссипативных), вязкость становится доминирующей и происходит разрушение вихрей.

Длина Колмогорова — масштаб, при котором число Рейнольдса становится порядка единицы:

$$ \eta = \left( \frac{\nu^3}{\varepsilon} \right)^{1/4}. $$

Энергетический каскад в атмосферных слоях

В пограничном слое атмосферы, где преобладают турбулентные процессы, наблюдаются ярко выраженные структуры энергетического каскада:

При нейтральной стратификации: доминирует механическое производство, турбулентность изотропна.
При неустойчивой: термические потоки усиливают турбулентность, и крупномасштабные подъемы (термы) несут основной вклад в энергетику.
При устойчивой стратификации: подавление турбулентности ограничивает энергетический каскад, энергия скапливается в ограниченном диапазоне масштабов.

Анизотропия и неоднородность турбулентности

В атмосфере турбулентность, как правило, анизотропна и неоднородна:

Анизотропия выражается в неравенстве дисперсий u′, v′, w′, особенно заметна вблизи границы подстилающей поверхности.
Неоднородность проявляется в вертикальном профиле турбулентной энергии, обусловленном изменяющимися условиями стратификации, шероховатостью поверхности и радиационным балансом.

Эти свойства требуют использования подходов локального замыкания (например, моделей типа k-ε, схем K-профиля), где уравнение для TKE служит базой для параметризации потока и диффузии.

Роль гравитационных и инерционно-гравитационных волн

В атмосфере значительная часть энергии может также временно накапливаться в организованных квазигармонических движениях — гравитационных и инерционно-гравитационных волнах. При определённых условиях они переходят в турбулентность через механизмы модуляционной неустойчивости, разрывов фазовой скорости и волнового коллапса, способствуя дополнительному производству турбулентной энергии.

Интегральные характеристики

Для оценки турбулентной энергетики в прикладных задачах используются усреднённые величины:

Интегральная длина масштабов турбулентности L — типичный размер крупномасштабных вихрей.
Скорость диссипации ε — часто оценивается эмпирически.
Энергетический флюкс — поток энергии через спектральные шкалы.

В совокупности эти параметры позволяют количественно описывать энергетическое состояние турбулентного потока, прогнозировать его развитие, а также формировать модели параметризации турбулентности в численных атмосферных моделях.