Гидростатическое равновесие

Понятие гидростатического равновесия

Гидростатическое равновесие в атмосфере — это состояние, при котором вертикальная составляющая силы давления уравновешивается силой тяжести. Иными словами, масса столба воздуха покоится, если разность давления между его нижней и верхней границами компенсирует его вес. Это фундаментальное приближение в атмосферной физике, применяемое в большинстве моделей и расчетов, связанных с вертикальной структурой атмосферы.

Основное уравнение гидростатического равновесия

Запишем основное уравнение для вертикального направления оси z, направленной вверх:

$$ \frac{dP}{dz} = -\rho g $$

где:

  • P — давление,
  • z — высота,
  • ρ — плотность воздуха,
  • g — ускорение свободного падения.

Это дифференциальное уравнение выражает баланс между градиентом давления и весом единичного объема воздуха. Знак минус указывает, что давление убывает с высотой.

Физический смысл

В атмосфере, несмотря на постоянное движение воздуха в горизонтальной и вертикальной плоскостях, вертикальные ускорения во многих случаях малы по сравнению с ускорением свободного падения. Поэтому можно считать, что вертикальные силы находятся в равновесии: воздух не “проваливается” вниз и не “вылетает” вверх. Это предположение упрощает анализ и используется в подавляющем большинстве случаев при изучении атмосферы, особенно в крупномасштабной динамике.

Интегрирование уравнения

В предположении, что атмосфера изотермична (температура не меняется с высотой), а воздух ведёт себя как идеальный газ, уравнение можно проинтегрировать. Запишем уравнение состояния:

P = ρRT

где:

  • R — удельная газовая постоянная,
  • T — температура.

Подставляя в уравнение гидростатического равновесия:

$$ \frac{dP}{dz} = -\frac{P g}{R T} $$

Интегрируя это уравнение от уровня z = 0 (у земли) до произвольной высоты z, получаем:

$$ P(z) = P_0 \exp\left(-\frac{g z}{R T}\right) $$

где P0 — давление у поверхности Земли. Это экспоненциальный закон убывания давления с высотой, справедливый для изотермической атмосферы.

Шкала высоты давления

Из последнего уравнения можно ввести понятие шкалы высоты давления:

$$ H = \frac{R T}{g} $$

Эта величина характеризует высоту, на которой давление убывает в e раз (примерно в 2,718…). При T = 288 K и R = 287 Дж/(кг·К), H ≈ 8, 4 км. Это значение приближенно отражает «толщину» тропосферы.

Уравнение барометрической формулы

Для нестационарной температуры, зависящей от высоты, получаем обобщенную барометрическую формулу. Предположим, что температура линейно убывает с высотой:

T(z) = T0 − Γz

где Γ — вертикальный градиент температуры. Тогда интегрирование уравнения гидростатического равновесия с учетом зависимости температуры от высоты даёт:

$$ P(z) = P_0 \left(1 - \frac{\Gamma z}{T_0}\right)^{\frac{g}{R \Gamma}} $$

Эта формула широко используется в метеорологии при анализе изменения давления в атмосфере.

Гидростатическое приближение

В уравнениях движения атмосферы вертикальное ускорение обычно мало по сравнению с другими членами. Это позволяет заменить полное вертикальное уравнение движения на гидростатическое приближение:

$$ \frac{dP}{dz} \approx -\rho g $$

Это приближение особенно хорошо работает для крупномасштабных процессов (циклоны, антициклоны, волны Росби), но может быть неприменимо в случаях мощной конвекции, грозовых облаков, фронтальных зон, где вертикальные скорости достигают значительных значений.

Отклонения от гидростатического равновесия

Нарушение гидростатического равновесия происходит в двух случаях:

  1. Конвекция. В восходящих потоках внутри кучевых облаков вертикальные ускорения значительны, и давление не может уравновесить вес воздушной массы. Возникают отклонения от равновесия, и в расчетах необходимо учитывать полное уравнение движения.

  2. Акустические и гравитационные волны. Быстрые возмущения, сопровождающиеся сжатием и разрежением воздуха, создают локальные нарушения гидростатического баланса. Такие волны описываются полной системой уравнений движения с учетом вертикального ускорения.

Стратификация и устойчивость

Гидростатическое равновесие тесно связано с устойчивостью атмосферы. При нарушении равновесия (например, подъеме объемов воздуха) атмосферная стратификация может быть устойчивой, неустойчивой или нейтральной. Это определяется вертикальным градиентом температуры и степенью насыщения воздуха.

Параметр Бриллюэна — частота Брюнт–Вяйсала — позволяет количественно охарактеризовать устойчивость стратификации в рамках гидростатического приближения. При положительной квадратной частоте N2 > 0 система устойчива, при N2 < 0 — неустойчива, возникает конвекция.

Применение в метеорологии и климатологии

Гидростатическое равновесие лежит в основе следующих методов и моделей:

  • расчёта высотных профилей давления, плотности и температуры;
  • построения метеорологических моделей среднего масштаба;
  • радиозондовых измерений;
  • моделей численного прогноза погоды (NWP), в которых гидростатическое приближение активно используется в глобальных моделях.

Для более точных моделей малых масштабов (например, мезомасштабные облачные модели) используются не гидростатические уравнения, особенно в условиях бурной конвекции.

Заключительные замечания по методологии

Хотя гидростатическое равновесие — приближённое условие, оно сохраняет высокую точность в большинстве ситуаций. Оно значительно упрощает анализ атмосферы, позволяя исключить сложные вертикальные динамические процессы и сосредоточиться на горизонтальных перемещениях, энергетических и радиационных балансах, масштабах стратификации и прочих важных аспектах физики атмосферы.

Оглавление