Гипсометрическая формула

Физическая основа вывода

Гипсометрическая формула устанавливает количественную связь между разностью высот двух уровней в атмосфере и разностью атмосферного давления на этих уровнях. Она основана на интеграции барометрического уравнения с использованием уравнения состояния идеального газа для влажного или сухого воздуха. Основное предположение — атмосфера находится в состоянии гидростатического равновесия, и температура изменяется известным образом с высотой.

В условиях гидростатического равновесия выполняется уравнение:

$$ \frac{dP}{dz} = -\rho g, $$

где P — давление, z — геометрическая высота, ρ — плотность воздуха, g — ускорение свободного падения.

Используя уравнение состояния идеального газа:

P = ρRT,

где R — удельная газовая постоянная воздуха (для сухого воздуха R_d ≈ 287 Дж/(кг·К)), T — абсолютная температура воздуха,

получим выражение для плотности:

$$ \rho = \frac{P}{RT}. $$

Подставим это в уравнение гидростатического равновесия:

$$ \frac{dP}{dz} = -\frac{P g}{RT}. $$

Разделим переменные и проинтегрируем от уровня z₁ до z₂, соответствующих давлениям P₁ и P₂:

$$ \int_{P_1}^{P_2} \frac{dP}{P} = -\int_{z_1}^{z_2} \frac{g}{RT(z)} dz. $$

Вывод формулы при постоянной температуре

Если температура считается постоянной по высоте (что допустимо при приближённых расчетах на небольших интервалах высот), то:

$$ \int_{P_1}^{P_2} \frac{dP}{P} = \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right), \quad \int_{z_1}^{z_2} dz = z_2 - z_1 = \Delta z, $$

и тогда получаем:

$$ \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -\frac{g \Delta z}{RT}. $$

Откуда:

$$ \Delta z = \frac{RT}{g} \ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right). $$

Это и есть гипсометрическая формула в изотермическом приближении, дающая разность высот между двумя уровнями по известным давлениям и температуре.

Обобщённая гипсометрическая формула

В реальной атмосфере температура меняется с высотой, и тогда применяется более общий вид формулы:

$$ \Delta z = \frac{R}{g} \int_{P_1}^{P_2} T(P) \frac{dP}{P}. $$

Такую формулу можно численно интегрировать, используя наблюдаемые зависимости температуры от давления.

Однако чаще используется средняя температура слоя, которая определяется как среднее логарифмическое значение температуры между двумя уровнями:

$$ \bar{T} = \frac{T_1 + T_2}{2}, \quad \text{или уточнённо:} \quad \bar{T} = \frac{T_2 - T_1}{\ln(P_1/P_2)}. $$

Подставляя в изотермическую формулу среднюю температуру, получаем приближённый, но точный на практике результат:

$$ \Delta z = \frac{R \bar{T}}{g} \ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right). $$

Эта формула используется в радиозондировании, авиации, синоптических и климатических исследованиях.

Использование виртуальной температуры

Если воздух влажный, необходимо учитывать пониженную плотность вследствие присутствия водяного пара. В этом случае в гипсометрической формуле вместо температуры T используется виртуальная температура T_v:

T_v = T(1 + 0.61q),

где q — удельная влажность воздуха. Тогда формула принимает вид:

$$ \Delta z = \frac{R_d \bar{T}_v}{g} \ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right), $$

где R_d — газовая постоянная сухого воздуха. Использование T_v корректирует расчёты в условиях влажной атмосферы.

Влияние изменения ускорения свободного падения

Ускорение свободного падения g не является строго постоянным — оно зависит от широты и высоты над уровнем моря. На практике используют среднее значение g = 9.80665 м/с², однако для точных геофизических расчётов вводится зависимость:

g(φ, z) = g₀(1 − 0.0026373cos 2φ − 0.0000059h),

где φ — широта, h — высота над уровнем моря.

Эта поправка может быть особенно важна при анализе атмосферной структуры в горных районах и вблизи полюсов.

Геопотенциальная высота

Поскольку работа по подъёму массы воздуха зависит от изменения потенциальной энергии, в метеорологии часто используют геопотенциальную высоту Z, определяемую как:

$$ Z = \frac{1}{g_0} \int_{0}^{z} g(z') dz'. $$

Тогда гипсометрическая формула записывается как:

$$ \Delta Z = \frac{R \bar{T}}{g_0} \ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right), $$

что является стандартной формой гипсометрической формулы в геопотенциальных координатах. Это позволяет унифицировать расчёты и избавиться от поправок, связанных с изменением g.

Применения гипсометрической формулы

1. Атмосферное зондирование — определение вертикального профиля температуры и плотности на основе измерений давления.
2. Авиация — определение барометрической высоты при помощи альтиметров.
3. Климатология — построение изобарических карт и анализ распределения метеопараметров по высоте.
4. Моделирование атмосферы — расчёт геометрических уровней моделей по давлению или наоборот.
5. Геодезия и топография — оценка относительных высот по атмосферному давлению.

Особенности и ограничения

Гипсометрическая формула чувствительна к точности определения температуры. Погрешность в измерении температуры на 1 °C даёт ошибку в высоте порядка 20 м на каждом километре. Поэтому при практическом применении используются температурные профили высокой точности (например, радиозондовые данные).

Также важно помнить, что формула предполагает гидростатическое равновесие. При наличии сильных вертикальных движений (конвекция, турбулентность) возможны отклонения от рассчитанных значений.

Связь с барометрической формулой

Барометрическая формула определяет изменение давления с высотой при заданной температуре, а гипсометрическая — изменение высоты при известных давлениях и температуре. Таким образом, обе формулы являются следствиями одного и того же базового уравнения гидростатического равновесия и различаются лишь целью применения.

Числовой пример

Пусть:

• P₁ = 900 гПа,
• P₂ = 800 гПа,
• T̄ = 270 К,
• R = 287 Дж/(кг·К),
• g = 9.81 м/с².

Подставим в формулу:

$$ \Delta z = \frac{287 \cdot 270}{9.81} \ln\left(\frac{900}{800}\right) \approx 7900 \cdot 0.1178 \approx 930 \ \text{м}. $$

Таким образом, слой между уровнями 900 и 800 гПа при средней температуре 270 К имеет геометрическую толщину около 930 метров.