Гравитационные волны

Физика атмосферных гравитационных волн

Гравитационные волны в атмосфере — это волны, возникающие в результате восстанавливающей силы гравитации при отклонении воздушных частиц от положения равновесия в стратифицированной среде. Они являются фундаментальной формой возмущений, распространяющихся в атмосфере, и играют ключевую роль в передаче импульса и энергии между различными уровнями.

Основные физические уравнения, описывающие гравитационные волны, следуют из системы уравнений гидродинамики в стратифицированной несжимаемой или слабо сжимаемой среде:

Уравнение непрерывности (для сжимаемой атмосферы):

$$ \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho_0 \vec{v}) = 0 $$
Уравнение движения:

$$ \rho_0 \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p' - \rho' \vec{g} $$
Уравнение состояния:

$$ \frac{p'}{p_0} = \gamma \frac{\rho'}{\rho_0} $$
Уравнение термодинамики (или уравнение для потенциальной температуры):

$$ \frac{d\theta'}{dt} + w \frac{d\theta_0}{dz} = 0 $$

Здесь v⃗ = (u, v, w) — скорость возмущений, ρ₀(z), p₀(z), θ₀(z) — фоновые (неподвижные) распределения плотности, давления и потенциальной температуры соответственно, ρ′, p′, θ′ — соответствующие возмущения, g — ускорение свободного падения, γ — показатель адиабаты.

Частный случай: линейные двумерные волны в стратифицированной атмосфере

Рассмотрим двумерную (x-z) линейную теорию гравитационных волн в атмосфере с постоянной стратификацией. После линеаризации и введения волновых решений вида:

w(x, z, t) = ŵ e^{i(kx + mz − ωt)}

получаем дисперсионное соотношение:

$$ \omega^2 = \frac{N^2 k^2}{k^2 + m^2} $$

где:

ω — круговая частота волны,
k — горизонтальное волновое число,
m — вертикальное волновое число,
N — частота Брюнт–Вяйсаля:

$$ N^2 = \frac{g}{\theta_0} \frac{d\theta_0}{dz} $$

Это соотношение демонстрирует фундаментальную особенность гравитационных волн: их частота не зависит от модуля волнового вектора, а определяется его направлением. Максимальная частота равна N, минимальная стремится к нулю при вертикальной направленности.

Свойства распространения гравитационных волн

1. Анизотропность распространения. Фаза и группа гравитационной волны распространяются в разных направлениях. Вектор фазовой скорости:

$$ \vec{c}_f = \frac{\omega}{k^2 + m^2}(k, m) $$

Вектор групповой скорости (скорости переноса энергии):

$$ \vec{c}_g = \nabla_{\vec{k}} \omega = \frac{N^2 m}{(k^2 + m^2)^2}(k, -m) $$

Это означает, что вертикально распространяющаяся волна может передавать энергию горизонтально и наоборот.

2. Условие существования. Гравитационные волны возможны только в устойчиво стратифицированной среде, то есть при N² > 0. В конвективно неустойчивом слое (где N² < 0) волны превращаются в нарастающие возмущения.

3. Угасание и амплификация. В реальной атмосфере плотность убывает с высотой. Сохранение энергии приводит к тому, что амплитуда возмущения возрастает экспоненциально с высотой, если нет механизмов диссипации. Это явление называется “амплификацией на фоне уменьшения плотности” и выражается как:

$$ \hat{w}(z) \sim \frac{1}{\sqrt{\rho_0(z)}} \sim e^{z/(2H)} $$

где H — масштаб высоты.

Возбуждение и источники гравитационных волн

Гравитационные волны в атмосфере возбуждаются различными механизмами:

Орографические возмущения — поток воздуха над горными хребтами приводит к стационарным волнам, часто называемым “орографическими гравитационными волнами”. Они имеют ключевое значение для переноса импульса в стратосферу.
Конвективные облака и грозы — вертикальные выбросы воздуха в мощной конвекции являются мощным источником импульсных и периодических волн, которые распространяются вверх и по горизонтали на тысячи километров.
Фронтальные зоны и струйные течения — резкие изменения в ветровом и термическом полях могут возбуждать волны как в тропосфере, так и в стратосфере.
Возмущения на границе дня и ночи в термосфере могут порождать гравитационные волны, распространяющиеся вниз.

Нелинейные эффекты и разрушение волн

С увеличением амплитуды волна может переходить в нелинейный режим. При этом возможны следующие процессы:

Крутящиеся волны (breaking waves) — аналогично морским волнам, гравитационные волны в атмосфере могут “ломаться”, вызывая турбулентность, усиленное перемешивание и передачу импульса на среду.
Генерация вторичных волн — разрушение основной волны может приводить к появлению новых возмущений, включая волны с другими масштабами и направлениями.
Модуляционная нестабильность — амплитуда волны может испытывать модуляции, приводящие к локальным усилениям и нестабильности.

Роль гравитационных волн в общей циркуляции атмосферы

Гравитационные волны играют фундаментальную роль в передаче импульса от нижних уровней атмосферы к верхним. Особенно важны следующие процессы:

Торможение струй в мезосфере — при разрушении гравитационных волн в мезопаузе происходит передача импульса, которая оказывает тормозящее воздействие на крупномасштабные течения. Это один из ключевых механизмов формирования циркуляции Бревера–Добсона.
Формирование мезосферной циркуляции — в отсутствие трения гравитационные волны обеспечивают поддержание так называемой «негеострофической» циркуляции в мезосфере.
Влияние на температуру — дивергенция потоков импульса, связанного с гравитационными волнами, оказывает влияние на распределение температуры, вызывая локальные нагревы и охлаждения.

Диагностика и наблюдение гравитационных волн

Современные методы позволяют фиксировать гравитационные волны различными способами:

Спутниковые наблюдения (например, с использованием спектрометров и радиометрических приборов) позволяют выявлять волновые структуры в распределении температуры, плотности и озона.
Наземные лидары и радиозондовые измерения — выявляют вертикальную структуру волновых возмущений с высоким вертикальным разрешением.
Численное моделирование — высокоразрешённые модели атмосферы способны воспроизводить процессы генерации, распространения и разрушения гравитационных волн, особенно вблизи источников.

Теоретические приближения и модели

Для описания гравитационных волн используется ряд приближений:

Аппроксимация Буссинеска — предполагается, что плотность в уравнениях движения постоянна, за исключением члена с гравитацией.
Псевдоспектральные модели — позволяют эффективно моделировать линейные и слабонелинейные волновые поля.
Реалистичные климатические модели — встраивают параметризации гравитационных волн, учитывая их влияние на циркуляцию, особенно в стратосфере и мезосфере.

Глобальное значение

Гравитационные волны являются связующим звеном между масштабами: они несут информацию о мелкомасштабных процессах (таких как турбулентность или горные потоки) на большие высоты и расстояния, влияя на глобальную атмосферную динамику. Их учет необходим при прогнозировании климата, моделировании атмосферы и интерпретации данных спутникового зондирования.