Основы и предпосылки квазигеострофической динамики
Квазигеострофическое приближение (КГП) представляет собой асимптотическое приближение уравнений атмосферной динамики, получаемое при допущении, что движения в атмосфере происходят вблизи геострофического равновесия. Основная идея КГП заключается в том, чтобы рассматривать небольшие отклонения от геострофического баланса и использовать их для описания медленно изменяющихся крупномасштабных движений в атмосфере средних широт.
Это приближение особенно полезно в тех случаях, когда скорость вертикальных перемещений мала по сравнению с горизонтальными, а горизонтальный масштаб движения значительно превышает вертикальный. Оно позволяет упростить систему уравнений движения, избавившись от быстрых акустических и гравитационных волн и сосредоточившись на медленных эволюционных процессах.
Асимптотическая формализация приближения
Квазигеострофическое приближение формализуется введением малого параметра — безразмерного числа Россби:
$$ \varepsilon = \frac{U}{fL} \ll 1, $$
где U — типичная скорость движения, L — характерный горизонтальный масштаб, f — параметр Кориолиса. Малость числа Россби указывает на близость к геострофическому равновесию и доминирование вращательных эффектов над инерционными.
В рамках этого приближения величины в уравнениях разлагаются в ряды по малому параметру ε, и рассматриваются только ведущие и первые порядки.
Геострофический баланс и поток
Ведущий порядок горизонтальных уравнений движения (на уровне ε0) задаёт геострофический баланс:
$$ f \mathbf{k} \times \mathbf{v}_g = -\frac{1}{\rho_0} \nabla_p \Phi, $$
где vg — геострофическая скорость, Φ — геопотенциал, ρ0 — характерная плотность. Этот баланс означает, что сила Кориолиса уравновешена горизонтальным градиентом давления.
Таким образом, геострофическая скорость может быть выражена через геопотенциал:
$$ \mathbf{v}_g = \frac{1}{f} \mathbf{k} \times \nabla_p \Phi. $$
Приведение уравнений движения к квазигеострофической форме
Полная система уравнений, включающая уравнения движения, непрерывности и термодинамики, с помощью асимптотического разложения приводит к следующей совокупности уравнений квазигеострофической динамики:
$$ \frac{D_g q}{Dt} = 0, $$
где q — потенциальная вихревость, Dg/Dt — материальная производная по геострофическому потоку.
В атмосфере с варьирующейся плотностью (в координатах давления):
$$ q = \nabla_p^2 \Phi + f + \frac{\partial}{\partial p} \left( \frac{f_0^2}{\sigma} \frac{\partial \Phi}{\partial p} \right), $$
где σ — стабильность стратификации атмосферы (связанная с вертикальным градиентом потенциальной температуры).
Это уравнение позволяет найти поле геопотенциала по известному полю потенциальной вихревости и распределению стратификации.
Физическая интерпретация и свойства уравнения вихревости
Уравнение квазигеострофической вихревости описывает эволюцию распределения вихревости в потоке, который близок к геострофическому. Оно выражает закон сохранения потенциальной вихревости вдоль траекторий геострофических частиц. Сама потенциальная вихревость в квазигеострофической теории включает вклад от горизонтального вихря, планетарной вихревости f, а также стратификационных свойств среды через вертикальный член.
Благодаря линейности оператора в диагностическом уравнении можно решать задачи о взаимодействии разных масштабов движения, об эволюции волн и бароклинной неустойчивости.
Квазигеострофическое термическое ветровое уравнение
Сопоставление геострофического баланса с уравнением гидростатического равновесия даёт термическое ветровое уравнение, которое в квазигеострофическом приближении принимает вид:
$$ \frac{\partial \mathbf{v}_g}{\partial \ln p} = \frac{R}{f p} \mathbf{k} \times \nabla_p T, $$
где T — температура, R — газовая постоянная. Это уравнение устанавливает связь между вертикальной вариацией геострофического ветра и горизонтальным градиентом температуры. Оно используется при диагностике атмосферы и построении анализов высотных полей ветра.
Волновые решения: квазигеострофические волны
Квазигеострофическая теория допускает волновые решения, среди которых важнейшее значение имеют волны Россби — крупномасштабные планетарные волны, обусловленные изменением параметра Кориолиса с широтой (эффект β).
Уравнение для линейной волны Россби на β-плоскости в баротропной модели:
$$ \frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla^2 \psi \right) + \beta \frac{\partial \psi}{\partial x} = 0, $$
где ψ — потоковая функция, связанная с геострофическим ветром vg = k × ∇ψ. Эти волны являются дисперсионными, с фазовой скоростью, направленной на запад, и играют ключевую роль в формировании атмосферной циркуляции.
Бароклинная неустойчивость в квазигеострофическом приближении
Одним из важнейших результатов квазигеострофической теории является описание бароклинной неустойчивости, лежащей в основе образования циклонических возмущений в атмосфере. Суть её состоит в том, что при наличии вертикального сдвига геострофического ветра (т.е. при горизонтальном градиенте температуры) система становится неустойчивой к малым возмущениям, что приводит к росту волнообразных структур.
Типичный результат анализа линейной бароклинной неустойчивости — существование максимального темпа роста возмущений, определяемого параметрами вертикальной стратификации и сдвига ветра. Эти возмущения со временем переходят в синоптические вихри — циклоны и антициклоны.
Диагностические и прогностические применения КГП
Квазигеострофическая теория используется в практике метеорологии как основа для:
Прогностическое уравнение вихревости позволяет моделировать эволюцию системы с помощью численных методов. Диагностические уравнения для геопотенциала и температуры обеспечивают согласование между наблюдаемыми полями.
Ограничения и применимость приближения
Несмотря на свою фундаментальность и широкое применение, квазигеострофическое приближение обладает рядом ограничений:
Тем не менее, в зоне средних широт, в условиях умеренной стратификации и при наличии значительного горизонтального градиента температуры, квазигеострофическое приближение остаётся мощным инструментом анализа и прогноза атмосферных процессов.