Масштабный анализ

Масштабный анализ в физике атмосферы

Понятие масштабного анализа

Масштабный анализ представляет собой метод приближённого анализа уравнений физики атмосферы, основанный на сравнении порядков величин различных членов уравнений. Его цель — выделить доминирующие процессы и отбросить второстепенные члены, не вносящие существенного вклада в динамику. Это особенно важно в атмосфере, где процессы охватывают широкий диапазон пространственных и временных масштабов — от турбулентных флуктуаций до глобальных циркуляций.

Масштабный анализ базируется на безразмерной записи уравнений, в которой каждая физическая величина представляется как произведение характерной шкалы и безразмерной переменной. Это позволяет установить относительное значение каждого члена уравнения и выявить параметры, определяющие режим динамики.

Выбор характерных масштабов

Первым этапом масштабного анализа является выбор характерных масштабов:

  • Пространственные масштабы:

    • горизонтальный масштаб L (например, радиус циклона ~1000 км);
    • вертикальный масштаб H (например, высота тропосферы ~10 км).

  • Временной масштаб T: может быть определён как T ∼ L/U, где U — характерная скорость потока.

  • Масштабы для скорости: горизонтальная скорость U и вертикальная скорость W, при этом обычно W ≪ U (например, для циклона: U ∼ 10 м/с, W ∼ 0, 01 м/с).

  • Масштабы давления и плотности: используются отклонения от гидростатического фона: p = p0(z) + p′, где p′ ≪ p0.

  • Температурный масштаб: θ ∼ Δθ, характерное отклонение от фоновой температуры.

Безразмеризация уравнений

На основе выбранных масштабов физические уравнения (например, уравнение Навье–Стокса, уравнение непрерывности, термодинамическое уравнение) приводятся к безразмерной форме. Пример — безразмерная запись горизонтального уравнения движения:

$$ \frac{U}{T} \frac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*} + U^2 \frac{\mathbf{u}^* \cdot \nabla^* \mathbf{u}^*}{L} + fU \mathbf{k} \times \mathbf{u}^* = -\frac{1}{\rho_0} \frac{p'}{L} $$

где звёздочками обозначены безразмерные переменные. Введение параметров, таких как число Россби $Ro = \frac{U}{fL}$, позволяет судить о соотношении инерционных и кориолисовых сил.

Ключевые безразмерные параметры

Масштабный анализ даёт в руки мощный инструмент — безразмерные параметры, определяющие тип и свойства атмосферного движения:

  • Число Россби $Ro = \dfrac{U}{fL}$ — соотношение инерционных и кориолисовых сил; Ro ≪ 1: геострофический баланс; Ro ∼ 1: циклональные движения; Ro ≫ 1: турбулентные явления, инерционные движения.

  • Число Фруда $Fr = \dfrac{U}{NH}$ — соотношение кинетической и потенциальной энергии; определяет важность стратификации.

  • Число Экмана $E = \dfrac{\nu}{fH^2}$ — характеризует влияние вязкости в присутствии вращения; важно в анализе пограничного слоя.

  • Число Рейнольдса $Re = \dfrac{UL}{\nu}$ — отношение инерционных и вязких сил; Re ≫ 1 в атмосфере, что указывает на преобладание турбулентности.

  • Число Маха $Ma = \dfrac{U}{c}$ — для атмосферы, как правило, мало, что позволяет применять приближение несжимаемости.

Масштабные приближения и типы балансов

В зависимости от значений параметров можно применять упрощения, ведущие к различным физическим приближениям:

  • Геострофическое приближение При Ro ≪ 1, инерционные силы малы, устанавливается баланс между градиентом давления и кориолисовой силой:

    $$ f \mathbf{k} \times \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho_0} \nabla p' $$

  • Гидростатическое приближение В вертикальном уравнении движения доминируют сила тяжести и вертикальный градиент давления:

    $$ \frac{\partial p_0}{\partial z} = -\rho_0 g $$

  • Квазигеострофическое приближение Допускаются малые отклонения от геострофии; применяется в теории средних широт.

  • Анаэлостическое приближение Используется при моделировании стратифицированной, но слабо сжимаемой атмосферы; фильтрует звуковые волны, но сохраняет вертикальные вариации плотности.

Применение масштабного анализа

Масштабный анализ — основа построения моделей разной сложности:

  • Глобальные модели циркуляции — используют гидростатическое и геострофическое приближение, актуальны при L ∼ 106 м, Ro ≪ 1.

  • Мезомасштабные модели — включают эффекты вертикальной неоднородности, не всегда применимы геострофические приближения; L ∼ 104 м, Ro ∼ 1.

  • Модели пограничного слоя — необходим учёт вязкости и турбулентности, важны числа Экмана и Рейнольдса.

  • Вихревые и фронтальные структуры — требуют сохранения полной системы уравнений, масштабная оценка позволяет локализовать зоны резких градиентов.

Преимущества и ограничения метода

Масштабный анализ позволяет:

  • сократить систему уравнений, отбрасывая несущественные члены;
  • понять физическую природу баланса сил;
  • выявить режимы, в которых работают те или иные модели;
  • обеспечить интерпретацию результатов численного моделирования.

Однако его применение требует осторожности:

  • выбор масштабов должен соответствовать анализируемому явлению;
  • вблизи фронтов или в зонах конвекции масштабы могут нарушаться;
  • масштабный анализ не даёт точного решения, а лишь приближённое представление.

Структурная иерархия процессов в атмосфере

С помощью масштабного анализа выделяют и классифицируют процессы:

Масштаб движения Длина L Время T Примеры
Планетарный  > 106 м дни – недели Джетстримы, планетарные волны
Синоптический 105 − 106 м 1–7 суток Циклоны, антициклоны
Мезомасштабный 102 − 105 м минуты – часы Грозы, бризы, фронты
Мелкомасштабный  < 102 м секунды – минуты Турбулентность, вихри

Каждому диапазону соответствуют разные балансы и доминирующие механизмы. Масштабный анализ даёт основу для перехода от одного уровня описания к другому, обеспечивая согласованность и преемственность физического моделирования.

Оглавление