Распределение давления с высотой

Основные принципы

Атмосферное давление является результатом веса вышележащих слоёв воздуха, действующего на единицу площади. Оно уменьшается с высотой, поскольку с увеличением высоты масса столба воздуха над наблюдаемой точкой уменьшается. Количественное описание этого явления требует привлечения законов механики и термодинамики, в первую очередь — уравнения гидростатического равновесия и уравнения состояния идеального газа.

Уравнение гидростатического равновесия

Пусть в атмосфере установилось стационарное состояние без вертикальных ускорений. Тогда сила давления, действующая на горизонтальную площадку, уравновешивается весом воздуха, находящегося над этой площадкой:

dP = −ρg dz

где

  • dP — изменение давления на высоте dz,
  • ρ — плотность воздуха на данной высоте,
  • g — ускорение свободного падения,
  • dz — вертикальное приращение высоты (положительное вверх).

Это уравнение выражает баланс между градиентом давления и весом воздушной массы. Оно справедливо для малых приращений высоты и при отсутствии вертикального движения воздуха.

Уравнение состояния воздуха

Для связи давления, плотности и температуры используется уравнение состояния идеального газа:

P = ρRT

где

  • P — давление,
  • ρ — плотность,
  • R — удельная газовая постоянная для воздуха,
  • T — абсолютная температура воздуха.

Подставляя это выражение в уравнение гидростатического равновесия, получаем:

$$ dP = -\frac{P g}{R T} \, dz $$

Это дифференциальное уравнение можно решить при определённом законе распределения температуры с высотой.

Изобарное распределение при постоянной температуре (изотермическая атмосфера)

Предположим, что температура атмосферы не меняется с высотой: T = const. В этом случае уравнение принимает вид:

$$ \frac{dP}{P} = -\frac{g}{R T} \, dz $$

Интегрируя от уровня z = 0 (уровень моря) до произвольной высоты z, получаем:

$$ \ln{\left( \frac{P}{P_0} \right)} = -\frac{g z}{R T} $$

или

$$ P(z) = P_0 \, e^{- \frac{g z}{R T}} $$

где

  • P0 — давление на уровне z = 0,
  • P(z) — давление на высоте z.

Это барометрическая формула для изотермической атмосферы. Она показывает, что давление убывает с высотой по экспоненциальному закону.

Характерная высота давления (шкала высоты)

Введём шкалу высоты давления (или барометрическую шкалу):

$$ H = \frac{R T}{g} $$

Тогда формула приобретает вид:

$$ P(z) = P_0 \, e^{- \frac{z}{H}} $$

Типичное значение H при температуре T = 288 K (среднее значение у поверхности Земли):

$$ H \approx \frac{287 \cdot 288}{9.81} \approx 8{,}4\,\text{км} $$

Таким образом, при изотермическом предположении давление убывает в e раз на каждые ≈8,4 км высоты.

Более реалистичная модель: линейное уменьшение температуры

В реальной атмосфере температура убывает с высотой. Пусть температура изменяется по линейному закону:

T(z) = T0 − Γz

где

  • Γ — градиент температуры (обычно Γ ≈ 6, 5 К/км в тропосфере),
  • T0 — температура на уровне z = 0.

Подставим это в уравнение давления:

$$ \frac{dP}{P} = -\frac{g}{R (T_0 - \Gamma z)} \, dz $$

Интегрируя, получим:

$$ \ln{\left( \frac{P}{P_0} \right)} = -\frac{g}{R \Gamma} \ln{\left( 1 - \frac{\Gamma z}{T_0} \right)} $$

или

$$ P(z) = P_0 \left( 1 - \frac{\Gamma z}{T_0} \right)^{\frac{g}{R \Gamma}} $$

Это барометрическая формула для атмосферы с постоянным градиентом температуры. Она описывает более точно распределение давления в тропосфере, где температура действительно убывает с высотой.

Поведение давления на больших высотах

На больших высотах (в стратосфере и выше) температурный профиль усложняется: температура может перестать уменьшаться, а затем начинает возрастать. В этих слоях атмосферы используют либо ступенчатую модель (с постоянной температурой или градиентом на каждом участке), либо численные интегрирования с использованием реальных данных.

Особое значение имеет высота, на которой давление уменьшается в 10 раз. В изотермической атмосфере это:

z10 = Hln 10 ≈ 8, 4 ⋅ 2, 3 ≈ 19, 3 км

Таким образом, на высоте ≈19 км давление составляет 1/10 от значения у поверхности Земли.

Стратификация атмосферы по давлению

Распределение давления с высотой позволяет ввести важные понятия:

  • Плотность давления — величина, показывающая изменение давления с высотой: $\frac{dP}{dz}$;

  • Геопотенциальная высота — корректированная высота, учитывающая изменение g с высотой:

    $$ Z = \frac{1}{g_0} \int_0^z g(z) \, dz $$

    где g0 — стандартное значение ускорения свободного падения.

Использование геопотенциальной высоты упрощает расчёты в синоптической метеорологии и климатологии.

Использование барометрической зависимости на практике

Барометрическая формула используется:

  • в радиозондовых измерениях для расчёта высоты по давлению;
  • при построении изобарических карт — давление является основным прогностическим параметром;
  • для определения высоты полёта в авиации (по барометрическому альтиметру);
  • в климатических и аэрологических моделях.

Следует учитывать, что в реальности атмосферное давление подвержено и горизонтальным изменениям из-за динамики атмосферы, поэтому для полноценного описания необходимо учитывать также горизонтальные градиенты давления и уравнение движения воздуха.

Анализ логарифма давления

Если рассматривать зависимость ln P от высоты z, то при изотермическом предположении эта зависимость линейна. Это позволяет использовать логарифмическую шкалу для построения профилей давления, особенно в аэрологических диаграммах.

Такая линейная зависимость часто используется для анализа температурных профилей, высот тропопаузы, стратификации и определения потенциальной устойчивости атмосферы.

Оглавление