Статистическое описание турбулентности

Основные понятия и задачи статистического описания турбулентности

Атмосферная турбулентность характеризуется случайным и хаотическим поведением параметров потока: скорости, давления, температуры, плотности. Для её изучения оказывается практически невозможным применять классические методы детерминированной механики. Поэтому турбулентные движения описываются преимущественно в рамках статистической теории, в которой вместо детального описания каждого элемента потока исследуются средние величины и их флуктуации.

Цель статистического подхода — сформулировать закономерности, связывающие усреднённые характеристики турбулентного потока и их статистические корреляции, а также определить механизмы переноса массы, импульса и энергии в условиях хаотичного движения.

Разложение переменных и осреднение

Пусть ϕ(x⃗, t) — произвольная скалярная или векторная физическая величина в турбулентном потоке (например, компонента скорости u, температура T, плотность ρ). В статистической теории применяется разложение Рейнольдса:

$$ \phi(\vec{x}, t) = \overline{\phi}(\vec{x}, t) + \phi'(\vec{x}, t), $$

где:

  • $\overline{\phi}$ — среднее значение (усреднённая по времени, пространству или ансамблю величина),
  • ϕ′ — флуктуация (отклонение от среднего), такая что $\overline{\phi'} = 0$.

Свойства осреднения:

  1. Линейность: $\overline{a\phi + b\psi} = a\overline{\phi} + b\overline{\psi}$,
  2. $\overline{\overline{\phi}} = \overline{\phi}$,
  3. $\overline{\phi'\psi'} = \overline{\phi\psi} - \overline{\phi}\,\overline{\psi}$ — важнейшее соотношение, характеризующее корреляции.

Статистические характеристики турбулентности

Основными количественными мерами являются:

  • Средняя скорость:

    $$ \overline{u_i} = \text{компоненты вектора средней скорости}. $$

  • Дисперсия скорости (турбулентная кинетическая энергия):

    $$ k = \frac{1}{2} \left( \overline{u'^2} + \overline{v'^2} + \overline{w'^2} \right). $$

  • Корреляционные тензоры второго порядка:

    $$ \overline{u'_i u'_j}, $$

    определяют степень взаимодействия между флуктуациями различных компонент скорости.

  • Турбулентный поток тепла:

    $$ \overline{w' T'}, $$

    характеризует вертикальный перенос тепла вследствие турбулентных пульсаций.

  • Турбулентный поток импульса (реейнольдсовы напряжения):

    $$ \tau_{ij}^{\text{турб}} = -\rho\, \overline{u'_i u'_j}, $$

    которые по форме аналогичны вязким напряжениям и моделируют перенос импульса турбулентными вихрями.

Уравнения Рейнольдса

Применяя осреднение к уравнениям Навье–Стокса, получаем уравнения Рейнольдса для усреднённого поля:

$$ \rho\left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} \right) = -\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \mu \frac{\partial^2 \overline{u}_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \rho \overline{u'_i u'_j}}{\partial x_j}. $$

Здесь последний член с тензором $\rho \overline{u'_i u'_j}$ представляет собой влияние турбулентных флуктуаций на среднее течение. Это — основная трудность статистической теории: уравнения для средних величин содержат корреляции второго порядка, для которых в свою очередь требуются уравнения, включающие корреляции третьего порядка и т.д., что приводит к проблеме замыкания.

Проблема замыкания уравнений

Для замыкания системы уравнений необходимо выразить корреляционные величины через известные средние параметры потока. Существует несколько подходов:

  1. Гипотеза Буссинеска: Аналогично вязкому напряжению в ламинарном течении, предполагается:

    $$ -\rho \overline{u'_i u'_j} = \mu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} \rho k \delta_{ij}, $$

    где μt — турбулентная вязкость, эмпирически определяемая величина.

  2. k–ε модель: Основана на введении двух уравнений для:

    • k — турбулентной кинетической энергии,
    • ε — скорости диссипации этой энергии:

    $$ \frac{Dk}{Dt} = P - \varepsilon + \text{диффузионный член}, $$

    $$ \frac{D\varepsilon}{Dt} = C_1 \frac{\varepsilon}{k} P - C_2 \frac{\varepsilon^2}{k} + \text{диффузионный член}. $$

  3. LES (Large Eddy Simulation) и DNS (Direct Numerical Simulation) — численные подходы, основанные на частичном или полном разрешении вихрей.

Корреляционные функции и спектральный анализ

Для более глубокого понимания структуры турбулентности применяются:

  • Автокорреляционная функция скорости:

    $$ R_{ii}(\vec{r}) = \overline{u'_i(\vec{x})\, u'_i(\vec{x} + \vec{r})}, $$

    определяет пространственные масштабы турбулентных вихрей.

  • Кросс-корреляции между различными компонентами позволяют оценить взаимосвязь флуктуаций.

  • Энергетический спектр турбулентности E(k) — показывает распределение турбулентной энергии по волновым числам (масштабам):

    В инерционном диапазоне (по Колмогорову):

    E(k) ∼ ε2/3k−5/3,

    где ε — скорость диссипации энергии, k — волновое число (обратный масштаб вихря). Этот закон подтверждён многочисленными экспериментальными и численными данными.

Анизотропия и стратификация

Атмосферная турбулентность отличается от изотропной тем, что:

  • наблюдается анизотропия (неэквивалентность направлений),
  • сильная вертикальная стратификация ограничивает перемешивание по вертикали и делает турбулентность в атмосфере сильно зависимой от стабильности стратификации.

Градиентный Ричардсонов критерий:

$$ \text{Ri} = \frac{g}{\theta} \frac{\partial \theta / \partial z}{\left( \partial \overline{u} / \partial z \right)^2 + \left( \partial \overline{v} / \partial z \right)^2}, $$

служит критерием устойчивости стратифицированного потока: при Ri > 0.25 турбулентность подавляется.

Интермитентность и нелинейность турбулентности

Турбулентность не только хаотична, но и интермитентна: вспышки интенсивной турбулентности могут чередоваться с квазиламинарными участками. Эта особенность важна в верхних слоях атмосферы и при расчётах переноса загрязнений или тепла.

Применения и наблюдательные методы

В статистической турбулентности используются:

  • анемометры и лазерные доплеровские измерители для регистрации флуктуаций скорости,
  • радиозондирования и лидарные комплексы — для получения вертикальных профилей,
  • спектральный анализ временных рядов и пространственных полей.

Статистическое описание турбулентности лежит в основе всех современных моделей атмосферной динамики, прогноза погоды, оценки загрязнений, аэродинамики и климатических моделей.

Оглавление