Любая физическая величина может быть выражена через основные размерности: длина [L], масса [M], время [T], температура [Θ], сила тока [I], световая сила [J], количество вещества [N]. В физике атмосферы наибольшее значение имеют [L], [T], [M] и [Θ].
Размерностный анализ позволяет понять, как различные физические величины связаны между собой, упростить уравнения, устранить ненаблюдаемые параметры и провести масштабирование экспериментов. Например, размерностный анализ уравнений движения позволяет выделить ключевые параметры, управляющие атмосферными процессами, такие как числа Рейнольдса, Фруда, Россби и др.
Пример: размерность скорости — [LT−1], давления — [ML−1T−2], плотности — [ML−3].
Проверка размерной однородности уравнений — необходимое условие их корректности: левая и правая части любого физического уравнения должны иметь одинаковую размерность.
Теория подобия — метод, позволяющий перейти от одной физической системы к другой, подобной ей, при сохранении соотношений между основными характеристиками. Это особенно важно в атмосферной физике, где реальный масштаб процессов зачастую не позволяет прямое экспериментальное воспроизведение (например, моделирование турбулентных потоков, грозовых облаков, фронтов и т.п.).
Три типа подобия:
Для динамического подобия необходимо, чтобы безразмерные критерии, характеризующие взаимодействие сил, совпадали. Примеры таких критериев:
Число Рейнольдса:
$$ Re = \frac{UL}{\nu} $$
где U — характерная скорость, L — характерная длина, ν — кинематическая вязкость. Характеризует соотношение инерционных и вязких сил.
Число Фруда:
$$ Fr = \frac{U}{\sqrt{gL}} $$
соотношение инерционных и гравитационных сил. Важно при описании гравитационно-волновых процессов.
Число Россби:
$$ Ro = \frac{U}{fL} $$
где f = 2Ωsin φ — параметр Кориолиса. Характеризует значимость вращения Земли в динамике потока.
Число Маха:
$$ Ma = \frac{U}{c} $$
где c — скорость звука. Характеризует компрессибельность потока.
При построении атмосферных моделей (как лабораторных, так и численных) важно обеспечить соблюдение динамического подобия. Это означает сохранение чисел подобия между модельной системой и реальной атмосферой. В противном случае поведение модели может радикально отличаться от наблюдаемой атмосферы.
Пример: моделирование фронтов. Фронт — узкая зона интенсивного градиента температуры и плотности. Для корректной имитации фронта в лаборатории необходимо обеспечить совпадение чисел Рейнольдса, Фруда и, по возможности, Россби. Это требует соответствующего выбора масштаба, вязкости и других параметров.
Пример: моделирование турбулентности. Атмосферная турбулентность характеризуется очень большими числами Рейнольдса. Повторить их в лаборатории или численно трудно, но возможно добиться подобного каскада энергии и инерциального диапазона при разумном масштабировании.
Числовые модели также используют принципы подобия. Так как невозможно разрешить все масштабы движения (от крупномасштабной циркуляции до микротурбулентности), вводятся параметризации, основанные на инвариантности уравнений при масштабировании и на безразмерных числах.
Формализованным методом получения безразмерных параметров является π-теорема Бекингема. Она утверждает, что если в задаче участвуют n переменных, выражаемых через k независимых размерностей, то задача может быть представлена через n − k независимых безразмерных комбинаций (π-параметров).
Пример применения: Пусть зависимость средней скорости воздуха U в приземном слое атмосферы зависит от плотности воздуха ρ, динамической вязкости μ, характерной длины L, и внешнего давления P. Всего 5 переменных, выражаемых через 3 основные размерности ([M], [L], [T]), следовательно, можно построить 5 − 3 = 2 безразмерных параметра — например, число Рейнольдса и один дополнительный критерий, связанный с давлением.
Процедура применения метода:
Это позволяет обобщить экспериментальные данные, упростить анализ и перенести результаты между разными масштабами.
Основные уравнения атмосферной динамики — уравнение непрерывности, уравнение движения (Навье — Стокса), термодинамическое уравнение состояния, уравнение энергии — можно выразить в безразмерной форме. Это позволяет выделить характерные масштабы и параметры, определяющие поведение атмосферы.
Пример: безразмерное уравнение Навье — Стокса:
$$ \frac{\partial \mathbf{u'}}{\partial t'} + (\mathbf{u'} \cdot \nabla') \mathbf{u'} = -\nabla' p' + \frac{1}{Re} \nabla'^2 \mathbf{u'} + \text{другие силы} $$
где штрихованные переменные — безразмерные, Re — число Рейнольдса. При Re ≫ 1 вязкие силы малы по сравнению с инерционными.
Переход к безразмерной форме позволяет:
В атмосфере существует широкий диапазон пространственно-временных масштабов: от микроскопических вихрей (мм, мс) до планетарных волн (тысячи км, дни и недели). Теория подобия помогает понять, какие процессы можно аппроксимировать параметрически, а какие необходимо разрешать явно.
Примеры масштабов:
Модели общей циркуляции атмосферы (GCM) не могут разрешить все масштабы, поэтому необходимо использовать параметризации, основанные на теории подобия — например, для турбулентности, облаков, испарения и др.
Лабораторное моделирование атмосферных процессов в аэродинамических трубах и гидродинамических резервуарах также опирается на принципы теории подобия. Чтобы поведение модельного потока соответствовало атмосферному, необходимо правильно подобрать масштабы и параметры, чтобы сохранить соответствие безразмерных чисел.
Пример: в водной лабораторной модели вращающейся атмосферы масштабная модель должна воспроизводить правильные значения числа Экерта, Фруда и Россби для воспроизведения крупномасштабной циркуляции.
Масштабирование требует тщательного учета всех сил, включая Кориолисову, гравитационную, вязкую и инерционную, и их соотношений в конкретном процессе.
Преимущества теории подобия:
Ограничения:
Теория подобия и размерности остаётся краеугольным камнем теоретической и прикладной атмосферной физики, позволяя глубже понять механику атмосферы и повысить точность её моделирования.