Турбулентная диффузия

Понятие турбулентной диффузии

Турбулентная диффузия представляет собой перенос массы, тепла или импульса в турбулентной среде за счёт беспорядочных пульсационных движений частиц, существенно превышающих по масштабу и интенсивности молекулярные процессы. В атмосфере турбулентная диффузия играет ключевую роль в перераспределении примесей, влаги, тепла и других скалярных величин в приземном слое и свободной тропосфере.

Отличительной особенностью турбулентной диффузии является её высокая эффективность по сравнению с молекулярной. Даже при слабой турбулентности коэффициенты турбулентной диффузии на несколько порядков превосходят соответствующие молекулярные значения. Это объясняется тем, что крупномасштабные вихревые движения перемещают скалярные и векторные поля на большие расстояния за короткое время.

Основные уравнения и аналогия с молекулярной диффузией

Математически турбулентную диффузию описывают на основе аналогии с законом Фика, однако в контексте турбулентных флуктуаций:

$$ \overline{w'c'} = -K_c \frac{\partial \overline{c}}{\partial z} $$

Здесь:

$\overline{w'c'}$ — вертикальный поток скалярной величины (например, температуры или концентрации),
K_c — коэффициент турбулентной диффузии,
$\frac{\partial \overline{c}}{\partial z}$ — градиент средней концентрации по вертикали.

Аналогичным образом формулируются уравнения для теплового потока и переноса импульса:

$$ \overline{w'\theta'} = -K_\theta \frac{\partial \overline{\theta}}{\partial z}, \qquad \overline{u'w'} = -K_m \frac{\partial \overline{u}}{\partial z} $$

где K_θ, K_m — коэффициенты турбулентной тепло- и импульсной диффузии соответственно.

Коэффициенты турбулентной диффузии

Коэффициенты K не являются постоянными величинами и зависят от состояния турбулентности, стратификации, шероховатости подстилающей поверхности, времени суток и других факторов. В первом приближении можно записать:

K ∼ l_t ⋅ σ

где:

l_t — характерная длина турбулентности (например, длина смешивания),
σ — характерная скорость турбулентных пульсаций.

В приземном слое атмосферы K может достигать значений 1 − 100 m²/s, в то время как молекулярные коэффициенты диффузии составляют порядка 10⁻⁵ − 10⁻⁶ m²/s.

Анизотропия турбулентной диффузии

Турбулентная диффузия в атмосфере является анизотропной: горизонтальные масштабы турбулентных вихрей, как правило, существенно превышают вертикальные. Поэтому горизонтальные коэффициенты диффузии (K_h) могут быть на два-три порядка выше вертикальных (K_v). Это имеет ключевое значение для моделирования переноса загрязнений, водяного пара и тепла в атмосфере.

Теория градиентного переноса

Одним из наиболее распространённых подходов к описанию турбулентной диффузии является теория градиентного переноса (или теория К-аппроксимации). Согласно этой теории, турбулентный поток пропорционален локальному градиенту средней величины. Однако на практике теория градиентного переноса применима не всегда. В частности, в условиях сильно развитой конвекции или вблизи границ слоёв с резкой стратификацией она даёт значительные погрешности. Поэтому в таких случаях применяются более сложные схемы — например, двуточечные модели турбулентности или схемы с параметризацией нелокального переноса.

Роль стратификации

Состояние вертикальной стратификации оказывает значительное влияние на турбулентную диффузию. В устойчиво стратифицированной атмосфере (например, ночью) вертикальный перенос подавляется, коэффициенты K_v резко снижаются, и турбулентность может практически исчезнуть. Напротив, при неустойчивой стратификации (днём в результате нагрева подстилающей поверхности) конвективные движения активизируются, что сопровождается ростом турбулентного обмена и значениями коэффициентов K на порядки выше.

Параметр Ричардсона часто используется для количественной оценки влияния стратификации:

$$ Ri = \frac{g}{\theta} \cdot \frac{\partial \theta/\partial z}{\left(\partial u/\partial z\right)^2} $$

При Ri < 0 развивается интенсивная конвекция; при Ri > 0.25 турбулентность подавляется.

Конвективная и механическая турбулентность

Источники турбулентной диффузии в атмосфере могут быть как механическими (связаны с сдвигами ветра), так и термическими (обусловлены градиентами температуры). В приземном слое атмосферы турбулентность чаще всего возникает из-за взаимодействия этих двух механизмов. При этом механическая турбулентность доминирует ночью или вблизи шероховатых поверхностей, тогда как днём, особенно при ясной погоде, основную роль играет конвективная турбулентность.

Турбулентная диффузия и уравнение переноса

Для описания эволюции распределения скалярной величины c в турбулентной среде используется уравнение турбулентного переноса:

$$ \frac{\partial \overline{c}}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \overline{c}}{\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_j} \left( K_{cj} \frac{\partial \overline{c}}{\partial x_j} \right) + S $$

где S — источник или сток вещества (например, испарение, химическая реакция и т. д.), а K_cj — компоненты тензора коэффициента турбулентной диффузии, отражающие возможную анизотропию переноса.

Это уравнение служит основой для многих прикладных моделей, включая расчёты загрязнения атмосферы, прогноза погоды, динамики аэрозолей и парниковых газов.

Экспериментальные методы оценки коэффициентов диффузии

На практике коэффициенты турбулентной диффузии определяются по метеорологическим измерениям методом Эдди-ковариации, профилями температур и скоростей, либо с использованием трассеров (например, радиоактивных изотопов или инертных газов). Одним из ключевых приёмов является уравнивание экспериментально измеренного потока с выражением типа:

$$ \overline{w'c'} = -K_c \frac{\partial \overline{c}}{\partial z} $$

Это позволяет получить значения K_c при известных вертикальных профилях концентрации $\overline{c}(z)$.

Моделирование турбулентной диффузии в численных моделях атмосферы

В численных моделях атмосферы (как глобальных, так и мезомасштабных) турбулентная диффузия является важнейшей частью параметризаций вертикального и горизонтального переноса. Для моделирования используются различные подходы:

схемы локальной диффузии (K-теория),
нелокальные схемы с учетом профилей флюксов,
схемы с прогностическим уравнением для турбулентной кинетической энергии (TKE),
LES (Large Eddy Simulation) и DNS (Direct Numerical Simulation) для исследований мелкомасштабных процессов.

Параметризации турбулентной диффузии особенно критичны в приземном слое атмосферы и при описании пограничного слоя — зоны наиболее интенсивных турбулентных процессов.

Применение и значимость в физике атмосферы

Турбулентная диффузия лежит в основе многих физических процессов в атмосфере:

перемешивание загрязняющих веществ и газов (CO₂, O₃, CH₄),
перенос тепла от поверхности в атмосферу и обратно,
формирование облаков и конвективных систем,
динамика пограничного слоя атмосферы.

Понимание механизмов турбулентной диффузии позволяет строить более точные модели атмосферных процессов, прогнозировать поведение метеорологических величин и проводить оценки климатических изменений.