Уравнение состояния атмосферы

Основные предпосылки и идеализация

Уравнение состояния атмосферы — одно из фундаментальных выражений, описывающих физические свойства атмосферного воздуха как термодинамической среды. В общем виде оно устанавливает взаимосвязь между давлением, плотностью и температурой воздуха. Для описания состояния атмосферы, особенно на больших масштабах, принято рассматривать воздух как идеальный газ. Это приближение оправдано тем, что в большинстве случаев давление и температура в атмосфере таковы, что межмолекулярные взаимодействия оказывают малое влияние, и поведение газа хорошо описывается уравнением Менделеева–Клапейрона.

Уравнение состояния для идеального газа

В дифференциальной форме уравнение состояния запишется как:

p = ρRT

где: p — давление воздуха, Па ρ — плотность воздуха, кг/м³ R — удельная газовая постоянная, Дж/(кг·К) T — абсолютная температура, К

Газовая постоянная R связана с универсальной газовой постоянной Ru = 8, 314 Дж/(моль·К) и молярной массой воздуха μ как:

$$ R = \frac{R_u}{\mu} $$

Для сухого воздуха μ ≈ 28, 97 × 10−3 кг/моль, и, следовательно, Rd ≈ 287 Дж/(кг·К).

Составные формы уравнения состояния

В атмосфере присутствует не только сухой воздух, но и водяной пар. Поэтому, в более общем случае, необходимо учитывать вклад пара в уравнение состояния. Для влажного воздуха уравнение принимает вид:

p = ρdRdT + ρvRvT

где: ρd — плотность сухого воздуха ρv — плотность водяного пара Rv = 461 Дж/(кг·К) — газовая постоянная для водяного пара

Поскольку p = pd + e, где pd — парциальное давление сухого воздуха, e — парциальное давление водяного пара, можно выразить:

$$ \rho = \frac{p_d}{R_d T} + \frac{e}{R_v T} $$

Это выражение используется при расчетах плотности влажного воздуха, что важно для метеорологии, аэродинамики и климатологии.

Потенциальная температура и эквивалентное уравнение состояния

Одним из ключевых понятий в атмосферной термодинамике является потенциальная температура θ, определяемая как температура, которую имел бы воздух при адиабатическом сжатии (или расширении) до нормального давления p0 = 1000 гПа:

$$ \theta = T \left( \frac{p_0}{p} \right)^{\kappa} $$

где $\kappa = \frac{R_d}{c_p} \approx 0{,}286$ для сухого воздуха, а cp — удельная теплоёмкость при постоянном давлении. Использование потенциальной температуры позволяет удобно описывать вертикальные процессы и устойчивость атмосферы.

Эквивалентная высотная форма уравнения

С учетом изменения давления с высотой и гидростатического уравнения:

$$ \frac{dp}{dz} = -\rho g $$

подставляя выражение для ρ из уравнения состояния:

$$ \frac{dp}{dz} = -\frac{p}{RT}g $$

Решение этого дифференциального уравнения при постоянной температуре дает экспоненциальный закон барометрического убывания давления:

$$ p(z) = p_0 \exp\left( -\frac{Mgz}{R_u T} \right) $$

где M — молярная масса воздуха, g — ускорение свободного падения, z — геометрическая высота.

Это выражение используется для оценки распределения давления и плотности в изотермической атмосфере, а также как приближённая модель в различных расчетах.

Виртуальная температура

Так как влажный воздух легче сухого при одинаковом давлении и температуре, в метеорологии часто используется понятие виртуальной температуры Tv, — температуры, которую должен иметь сухой воздух, чтобы при том же давлении обладать такой же плотностью, как влажный. Она выражается формулой:

Tv = T(1 + 0, 61q)

где q — удельная влажность (масса водяного пара на единицу массы влажного воздуха). Таким образом, уравнение состояния для влажного воздуха можно записать в виде:

p = ρRdTv

Это упрощает вычисления и позволяет применять одно уравнение, как для сухого, так и для влажного воздуха, при замене реальной температуры на виртуальную.

Анализ стратификации атмосферы

Уравнение состояния в сочетании с гидростатическим уравнением и уравнениями термодинамики лежит в основе анализа вертикальной структуры атмосферы. Например, градиент температуры с высотой (адиабатический градиент) определяется из этих уравнений:

$$ \Gamma_d = -\frac{dT}{dz} = \frac{g}{c_p} \approx 9{,}8\,\text{К/км} $$

Это значение характерно для сухоадиабатической стратификации. При наличии влаги градиент уменьшается в зависимости от насыщения пара.

Уравнение состояния и численное моделирование атмосферы

Во всех современных численных моделях атмосферы, от моделей прогноза погоды до глобальных климатических моделей, уравнение состояния служит обязательным элементом в системах уравнений гидротермодинамики. Оно связывает поля температуры, давления и плотности, позволяя закрыть систему уравнений Навье–Стокса, уравнений переноса тепла и влаги.

Также важно отметить, что точность представления уравнения состояния влияет на расчёт устойчивости атмосферы, скорость подъёма воздушных масс, формирование облаков и осадков, и другие критические процессы.

Коррекции к уравнению состояния

Хотя модель идеального газа достаточно точна для большинства атмосферных условий, в некоторых случаях могут быть необходимы поправки, особенно:

  • при очень высоких давлениях (например, в глубоких слоях тропосферы при тропических циклонах);
  • при низких температурах (в стратосфере и мезосфере);
  • в условиях высокой влажности (где значителен вклад латентной теплоты и насыщения пара).

В этих условиях могут применяться более точные уравнения состояния, учитывающие реальную газовую природу и фазовые переходы.

Выводы из уравнения состояния

Из уравнения состояния следуют важные зависимости:

  • При постоянной температуре увеличение давления ведет к увеличению плотности воздуха.
  • При постоянном давлении рост температуры вызывает уменьшение плотности (и, следовательно, подъём воздуха).
  • Различия в температуре и влажности между воздушными массами обусловливают их разную плотность, что инициирует движение воздуха — основа циркуляции атмосферы.

Таким образом, уравнение состояния воздуха не только описывает моментальное термодинамическое состояние, но и определяет базовые принципы, по которым функционирует атмосфера как динамическая система.

Оглавление