Атмосфера как физическая система рассматривается в рамках континуума, описываемого уравнениями гидродинамики. Воздух — это сжимаемая, вязкая и термодинамически активная среда, обладающая переменными свойствами во времени и пространстве. Для описания его движения используются уравнения механики сплошной среды, адаптированные с учётом особенностей атмосферы — вращения Земли, гравитации, стратификации и других факторов.
Математическое описание динамики атмосферы основывается на фундаментальных физических законах: сохранения массы, импульса и энергии. Эти законы записываются в форме уравнений Навье–Стокса, дополненных уравнением состояния и уравнениями термодинамики.
Уравнение непрерывности описывает закон сохранения массы в элементе объёма:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$
где ρ — плотность воздуха, v — вектор скорости воздуха, t — время.
Это уравнение показывает, что изменение плотности в данной точке связано с расходимостью потока массы. Для несжимаемой жидкости (условие ∇ ⋅ v = 0) оно существенно упрощается, но в атмосфере воздух сжимаем, особенно в верхних слоях, поэтому полная форма уравнения обязательно учитывается.
Полное уравнение движения, или векторное уравнение Навье–Стокса в неинерциальной системе отсчёта (вращающейся вместе с Землёй), принимает вид:
$$ \rho \left( \frac{D \mathbf{v}}{D t} + 2\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{v} + \boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{r}) \right) = -\nabla p + \rho \mathbf{g} + \mu \nabla^2 \mathbf{v} $$
где $\frac{D}{Dt}$ — материальная производная, Ω — угловая скорость вращения Земли, r — радиус-вектор, ∇p — градиент давления, g — ускорение свободного падения, μ — динамическая вязкость.
Термин 2Ω × v описывает кориолисову силу, а Ω × (Ω × r) — центробежную силу. Совокупно эти два члена отвечают за влияние вращения Земли.
В метеорологии чаще используются уравнения движения в проекциях на координатные оси — горизонтальные (обычно широта x, долгота y) и вертикальную z. Горизонтальные компоненты уравнений движения:
$$ \frac{Du}{Dt} - fv = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} $$
$$ \frac{Dv}{Dt} + fu = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} $$
где u, v — горизонтальные компоненты скорости, f = 2Ωsin φ — параметр Кориолиса, зависящий от широты φ, $\frac{Dp}{Dt}$ — материальная производная давления.
Полное уравнение вертикального движения:
$$ \frac{Dw}{Dt} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g $$
где w — вертикальная скорость.
Однако в атмосфере вертикальные ускорения обычно малы по сравнению с гравитацией, и уравнение можно упростить, считая его квазистатическим. Получается гидростатическое уравнение:
$$ \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g $$
Это приближение справедливо для большинства масштабов атмосферных процессов, за исключением сильных вертикальных движений, как, например, в конвекции, грозах и фронтальных системах.
Для замыкания системы уравнений используется уравнение состояния идеального газа:
p = ρRT
где p — давление, T — абсолютная температура, R — удельная газовая постоянная для воздуха.
Это уравнение позволяет связать термодинамические переменные и обеспечивает термодинамическое описание воздушной массы.
Энергия воздуха включает внутреннюю энергию, кинетическую и потенциальную. В практическом метеорологическом применении используют уравнение первого закона термодинамики в форме уравнения теплового баланса:
$$ \frac{D T}{D t} = \frac{Q}{c_p} - \frac{T}{\rho c_p} \left( \frac{D \rho}{D t} \right) $$
или в виде уравнения для потенциальной температуры θ:
$$ \frac{D \theta}{D t} = \frac{Q}{c_p} \cdot \frac{\theta}{T} $$
где Q — удельный приток тепла, cp — удельная теплоёмкость при постоянном давлении.
Потенциальная температура определяется как температура, которую имела бы порция воздуха при адиабатическом приведении к уровню 1000 гПа:
$$ \theta = T \left( \frac{p_0}{p} \right)^{\kappa} $$
где $\kappa = \frac{R}{c_p}$, p0 = 1000 гПа.
Потенциальная температура является консервативной величиной при адиабатических процессах и широко используется для анализа устойчивости стратификации атмосферы. Увеличение θ с высотой свидетельствует об устойчивом состоянии, её уменьшение — об неустойчивости и возможности конвекции.
Для метеорологических расчётов часто используют изобарическую вертикальную координату p, так как давление является более естественным параметром для описания атмосферы. В этих координатах вертикальная скорость заменяется на $\omega = \frac{Dp}{Dt}$, и уравнение движения приобретает вид:
$$ \frac{Du}{Dt} - fv = -\left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)_p $$
$$ \frac{Dv}{Dt} + fu = -\left( \frac{\partial \Phi}{\partial y} \right)_p $$
где Φ = gz — геопотенциал, а индекс p указывает, что производные берутся при постоянном давлении.
При анализе больших масштабов движения (синоптический и планетарный уровни) используются приближённые формы уравнений, отражающие устойчивые балансы сил:
$$ f \mathbf{k} \times \mathbf{v}_g = -\frac{1}{\rho} \nabla p $$
где vg — геострофическая скорость.
Эти приближения лежат в основе теоретических моделей атмосферной циркуляции и численных погодных прогнозов.
Если плотность зависит только от давления (или температура однородна по горизонтали), система называется баротропной, и поверхности давления совпадают с поверхностями плотности.
В реальной атмосфере температурные градиенты порождают бароклинические условия, при которых поверхности постоянного давления и плотности не совпадают. Именно бароклиническая нестабильность лежит в основе образования циклонических вихрей средних широт.
Скорость ветра можно разложить на вихревую и дивергентную составляющие. Уравнение сохранения завихренности имеет форму:
$$ \frac{D \zeta}{Dt} = -\zeta (\nabla \cdot \mathbf{v}) + \text{источники и стоки} $$
где ζ — относительная завихренность.
Сохранение потенциальной завихренности:
$$ \frac{D}{Dt} \left( \frac{\zeta + f}{\rho} \right) = 0 $$
важнейшее свойство атмосферного движения, лежащее в основе теории движения Rossby-волн и общей циркуляции атмосферы.
Полная система уравнений движения атмосферы включает:
Эта система описывает динамику атмосферы в общем виде. Для конкретных задач и масштабов применяются различные приближённые модели — примитивные уравнения, квазигеострофическая теория, модель гидростатического равновесия и другие.