Вариационные принципы

Вариационные принципы в физике атмосферы

Вариационные принципы лежат в основе многих разделов теоретической физики, включая механику, электродинамику, квантовую теорию и гидродинамику. В контексте физики атмосферы они особенно полезны для вывода уравнений движения, устойчивости атмосферных структур, а также в численном моделировании динамики атмосферы.

Суть вариационного метода заключается в том, чтобы определить функцию или функционал, принимающий экстремальное значение (минимум, максимум или седловую точку) при движении системы от одного состояния к другому. Обычно этот функционал выражает некоторое интегральное свойство системы — например, действие, энтропию или энергию.

Принцип наименьшего действия

Классическим примером является принцип наименьшего действия (или, точнее, стационарного действия), согласно которому реальная траектория механической системы соответствует стационарному значению действия:

S = ∫_t₁^t₂L(q_i, q̇_i, t) dt,

где L — лагранжиан системы, q_i — обобщённые координаты, q̇_i — их производные по времени.

Применительно к атмосфере, лагранжиан можно выразить через плотность, давление, скорость и внутреннюю энергию. Вывод уравнений движения из этого принципа приводит к уравнениям Эйлера для идеальной жидкости или их обобщениям.

Вариационные уравнения в гидродинамике атмосферы

Вариационный подход позволяет компактно вывести уравнения движения атмосферной жидкости с учётом ограничений. Примером является вывод уравнений с учётом сохранения массы, импульса и энергии. Эти ограничения реализуются через введение множителей Лагранжа. Формально, необходимо найти экстремум функционала:

???? = ∫_t₁^t₂∫_Vℒ(v, ρ, p, T, …) dVdt,

при выполнении условий:

Уравнение непрерывности: ∂_tρ + ∇ ⋅ (ρv) = 0,
Уравнение энергии: ∂_te + ∇ ⋅ ((e + p)v) = Q,
Уравнение состояния: p = p(ρ, T).

В этом подходе можно использовать, например, переменные Клебша для представления скорости, что упрощает вариационное представление и последующую дискретизацию в численных схемах.

Вариационные методы в диагностике атмосферных полей

В задачах анализа метеорологических данных вариационные методы используются для синтеза поля из неполных или шумных наблюдений. Например, при построении трёхмерного поля температуры, влажности и ветра на основе разреженных измерений. Один из наиболее широко используемых подходов — это 3DVAR и 4DVAR (трёх- и четырёхмерный вариационный анализ).

Функционал, минимизируемый в этом случае, имеет вид:

$$ J(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_b)^T \mathbf{B}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{x}_b) + \frac{1}{2}(\mathbf{y} - \mathcal{H}(\mathbf{x}))^T \mathbf{R}^{-1} (\mathbf{y} - \mathcal{H}(\mathbf{x})), $$

где:

x — вектор состояния атмосферы (поля температуры, давления и т. п.),
x_b — априорное (фоновое) состояние,
y — вектор наблюдений,
ℋ — оператор наблюдения (обычно нелинейный),
B, R — ковариационные матрицы ошибок фона и наблюдений соответственно.

Минимизация этого функционала позволяет получить оптимальную оценку поля, согласованную как с модельным прогнозом, так и с наблюдениями.

Вариационные методы в численном прогнозе

Важной областью применения вариационных методов в атмосферных науках является ассимиляция данных, особенно в рамках численного прогноза погоды. Современные системы ассимиляции используют 4DVAR, который минимизирует функционал, аналогичный предыдущему, но с учётом временной эволюции состояния атмосферы:

$$ J(\mathbf{x}_0) = \frac{1}{2}(\mathbf{x}_0 - \mathbf{x}_b)^T \mathbf{B}^{-1} (\mathbf{x}_0 - \mathbf{x}_b) + \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N} (\mathbf{y}_i - \mathcal{H}_i(\mathbf{M}_{0 \rightarrow i}(\mathbf{x}_0)))^T \mathbf{R}_i^{-1} (\mathbf{y}_i - \mathcal{H}_i(\mathbf{M}_{0 \rightarrow i}(\mathbf{x}_0))), $$

где M_0 → i — модельная эволюция системы от момента времени 0 до t_i.

Такие методы обеспечивают согласование временной последовательности наблюдений с модельной динамикой и позволяют уточнять начальные условия прогноза, существенно повышая его точность.

Принцип Гамильтона и атмосферные волны

Вариационные методы применяются также к теории волн в атмосфере — гравитационных, акустических и планетарных. Уравнения движения можно вывести из принципа стационарного действия, предполагая малые возмущения от равновесного состояния. Это позволяет использовать линейные лагранжианы и анализировать устойчивость, дисперсионные соотношения и резонансные явления.

Пример: для волнового возмущения плотности и скорости лагранжиан может иметь вид:

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \rho_0 \left( |\mathbf{v}'|^2 - c_s^2 \frac{\rho'^2}{\rho_0^2} \right), $$

где c_s — скорость звука, ρ₀ — фон, ρ′, v′ — малые отклонения плотности и скорости. Из уравнений Эйлера-Лагранжа, получаемых из этого лагранжиана, следуют уравнения распространения акустических волн.

Квазигеострофическая динамика через вариационные принципы

Модель квазигеострофической динамики, широко применяемая в синоптическом масштабе, может быть также выведена из вариационного принципа. Здесь переменной выбора часто выступает потоковая функция ψ, а функционал действия формируется с учётом сохранения потенциальной вихревости. Полученная вариационная форма позволяет затем использовать методы оптимизации для численного моделирования.

Энергетические принципы устойчивости атмосферных течений

Методы, основанные на вариационных принципах, применяются для анализа устойчивости крупномасштабных атмосферных течений. Одним из подходов является метод Арнольда, в котором устойчивость оценивается по вариации энергии:

Если вариация энергии положительно определена при малых возмущениях, течение устойчиво.
Если существует направление, в котором энергия убывает — возможна неустойчивость.

Это особенно важно при анализе бароклинной неустойчивости и возникновения циклонической активности.

Вариационная формализация уравнений баланса

В задачах, где необходимо сохранить определённую инвариантность (например, энтропию или полный момент импульса), вариационный подход позволяет построить уравнения движения с учётом ограничений через модифицированный функционал, где ограничения вшиты с помощью множителей Лагранжа. Такой подход полезен при построении устойчивых численных схем, сохраняющих физические интегралы.

Вариационные методы в теории турбулентности

Несмотря на хаотичность и нелинейность турбулентных течений, вариационные подходы находят применение в статистическом описании турбулентности. Например, в гипотезах максимизации энтропии или минимизации диссипации при стационарном турбулентном состоянии. Вариационные принципы используются также при построении субсеточных моделей в крупномасштабных моделях атмосферы (Large Eddy Simulation, LES).

Обобщённые функции и вариационный анализ разрывных решений

Атмосферные процессы нередко сопровождаются разрывами: фронтами, волнами разрежения, ударными волнами. В этих случаях вариационные методы применяются с использованием теории обобщённых функций. Разрывы трактуются как слабые решения, удовлетворяющие интегральной форме уравнений движения. Минимизация соответствующего функционала позволяет получать приближённые разрывные решения и описывать переходные процессы.

Роль вариационного подхода в построении физических параметризаций

Современные модели атмосферы используют параметризации процессов, происходящих на подмасштабных уровнях: конвекции, испарения, переноса тепла и влаги. Вариационные методы позволяют согласовать параметры этих моделей с наблюдениями и общими законами сохранения. Например, минимизация функционала диссипации или энтропийного производства может служить основой для построения физически обоснованных параметризаций.