Пространство-время вокруг невращающейся и несмещённой по заряду сферически-симметричной массы описывается метрикой Шварцшильда. В координатах (t, r, θ, φ) она имеет вид
$$ ds^{2} = - \left(1 - \frac{2GM}{c^{2}r}\right)c^{2}dt^{2} + \left(1 - \frac{2GM}{c^{2}r}\right)^{-1} dr^{2} + r^{2}(d\theta^{2} + \sin^{2}\theta \, d\varphi^{2}). $$
Эта метрика является решением уравнений Эйнштейна в вакууме и задаёт структуру пространства-времени вне сферической массы M. Радиус
$$ r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}} $$
определяет так называемый радиус Шварцшильда, соответствующий горизонту событий чёрной дыры.
Для анализа движения пробных частиц (материальных тел или фотонов) используется принцип наименьшего действия и геодезические уравнения, которые следуют из вариации функционала длины мировой линии.
Благодаря сферической симметрии и статичности метрики Шварцшильда существуют два интеграла движения, связанные с Killing-векторами:
$$ E = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^{2}\frac{dt}{d\tau}, $$
где τ — собственное время частицы.
$$ L = r^{2}\frac{d\varphi}{d\tau}. $$
Эти константы позволяют свести задачу о движении к одномерному виду.
Подставляя интегралы движения в метрику, получаем уравнение:
$$ \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^{2} + V_{\text{эфф}}(r) = \frac{E^{2}}{c^{2}}, $$
где введён эффективный потенциал
$$ V_{\text{эфф}}(r) = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\left(c^{2} + \frac{L^{2}}{r^{2}}\right). $$
Таким образом, задача о движении в метрике Шварцшильда аналогична движению в одномерном потенциале.
Возможные типы траекторий определяются формой эффективного потенциала.
$$ V_{\text{эфф}}^{(\gamma)}(r) = \frac{L^{2}}{r^{2}}\left(1 - \frac{r_s}{r}\right). $$
Особую роль играет фотонная сфера при $r = \tfrac{3}{2}r_s$, где возможны круговые траектории света. Они неустойчивы: малейшее отклонение приводит к падению фотона за горизонт или уходу на бесконечность.
Круговая орбита определяется равенством
$$ \frac{dr}{d\tau} = 0, \quad \frac{d^{2}r}{d\tau^{2}} = 0. $$
Из этих условий следует система уравнений, позволяющая найти радиусы круговых орбит:
$$ r \geq 6 \frac{GM}{c^{2}}. $$
Радиус r = 6GM/c2 называется радиусом последней стабильной круговой орбиты (ISCO). При меньших радиусах частица неизбежно падает в чёрную дыру.
При падении частицы из состояния покоя на бесконечности (E = c2) её радиальная скорость в собственном времени задаётся:
$$ \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^{2} = c^{2}\frac{r_s}{r}. $$
Внешний наблюдатель видит замедление движения по мере приближения частицы к горизонту, так как координатное время t → ∞ при r → rs. Однако в собственном времени частица достигает горизонта за конечный интервал.
Движение пробных частиц в метрике Шварцшильда приводит к отличиям от ньютоновской механики. Одним из наиболее известных эффектов является смещение перигелия орбиты. Для планеты с большой полуосью a и эксцентриситетом e поправка к ньютоновскому закону Кеплера равна:
$$ \Delta \varphi = \frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^{2})}. $$
Этот результат совпадает с наблюдаемым смещением перигелия Меркурия и служит подтверждением общей теории относительности.
Геодезические фотонов подчиняются уравнениям, аналогичным уравнению движения частицы в эффективном потенциале. При пролёте на расстоянии b (параметр воздействия) свет испытывает отклонение:
$$ \Delta \varphi \approx \frac{4GM}{c^{2}b}. $$
Этот эффект был впервые экспериментально подтверждён в 1919 году при наблюдении солнечного затмения и стал ключевым подтверждением предсказаний Эйнштейна.
Существует критическое значение углового момента, при котором частица или фотон перестают иметь возможность уйти на бесконечность. Для фотонов этот критический параметр определяется радиусом фотонной сферы:
$$ b_{\text{кр}} = \frac{3\sqrt{3}GM}{c^{2}}. $$
При меньшем импульсе частица света не может избежать захвата чёрной дырой.