Движение в поле вращающейся чёрной дыры

Вращающаяся чёрная дыра описывается метрикой Керра, которая является решением уравнений Эйнштейна для вакуума с осевой симметрией и стационарностью. В системе координат Бойера–Линденштейна (Boyer–Lindquist) метрика имеет вид:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2Mr}{\Sigma}\right) dt^2 - \frac{4Mar \sin^2\theta}{\Sigma} dt\, d\phi + \frac{\Sigma}{\Delta} dr^2 + \Sigma\, d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2Ma^2 r \sin^2\theta}{\Sigma}\right) \sin^2\theta d\phi^2, $$

где Σ = r2 + a2cos2θ, Δ = r2 − 2Mr + a2, M — масса чёрной дыры, a = J/M — параметр вращения (удельный угловой момент), r, θ, ϕ — сферические координаты, t — координата времени.

Ключевыми особенностями метрики Керра являются:

  • Эргосфера: область между горизонтом и поверхностью, где gtt > 0, в которой невозможно оставаться статичным относительно удалённого наблюдателя.
  • Сингулярность: кольцевая сингулярность, расположенная в плоскости θ = π/2 при r = 0.
  • Горизонты событий: внешняя и внутренняя поверхности $r_{\pm} = M \pm \sqrt{M^2 - a^2}$.

Уравнения движения пробных частиц

Движение в поле Керра можно полностью описать через интегралы движения: энергию E, проекцию углового момента Lz и константу Картера Q. Уравнения движения записываются в виде:

$$ \Sigma \frac{dr}{d\tau} = \pm \sqrt{R(r)}, \quad \Sigma \frac{d\theta}{d\tau} = \pm \sqrt{\Theta(\theta)}, $$

$$ \Sigma \frac{d\phi}{d\tau} = \frac{L_z}{\sin^2\theta} - a E + \frac{a P(r)}{\Delta}, \quad \Sigma \frac{dt}{d\tau} = E \left(r^2 + a^2\right) - a L_z + \frac{(r^2 + a^2) P(r)}{\Delta}, $$

где

$$ R(r) = \left[E(r^2 + a^2) - a L_z \right]^2 - \Delta \left[r^2 + (L_z - a E)^2 + Q \right], \quad \Theta(\theta) = Q - \cos^2\theta \left[a^2 (1 - E^2) + \frac{L_z^2}{\sin^2\theta}\right], $$

P(r) = E(r2 + a2) − aLz.

Эти уравнения позволяют анализировать как свободное падение, так и орбитальное движение частиц и фотонов.

Орбиты частиц в плоскости экватора

В экваториальной плоскости (θ = π/2) движение упрощается: Θ(π/2) = Q = 0. Уравнение для радиальной компоненты:

$$ \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \frac{1}{\Sigma^2} \left[E(r^2 + a^2) - a L_z \right]^2 - \frac{\Delta}{\Sigma} \left[r^2 + (L_z - a E)^2 \right]. $$

Ключевые характеристики орбит:

  • Последняя устойчивая круговая орбита (ISCO): определяет минимальное расстояние для стабильной круговой орбиты. Расстояние зависит от направления вращения частицы относительно черной дыры: короткодействующее вращение уменьшает ISCO, противодействующее увеличивает.
  • Фотонная сфера: круговая орбита фотонов на радиусах $r_{\rm ph}^{\pm}$, зависящих от вращения a и направления движения.

Энергетические эффекты вращения

Вращение чёрной дыры приводит к эффекту Лэнса–Тирринга — вынужденное «завихрение» пространства. Следствия:

  1. Рамочное переносимое вращение: частицы не могут оставаться неподвижными относительно удалённого наблюдателя внутри эргосферы.
  2. Энергетическая экстракция (процесс Пенроуза): внутри эргосферы возможно разложение частицы на две, где одна падает в черную дыру, а другая покидает систему с энергией, превышающей исходную.
  3. Сдвиг орбит: стабильные орбиты смещаются ближе к черной дыре при сонаправленном вращении и дальше при противоположном.

Движение фотонов

Для фотонов ds2 = 0, интегралы движения упрощаются, но сохраняется зависимость от константы Картера Q. Основные типы траекторий:

  • Падающие на черную дыру: пересекают горизонт событий, невозможно их остановить.
  • Скрытые в орбитах (photon shell): устойчивые или квазистационарные орбиты для фотонов возможны в ограниченном диапазоне радиусов.
  • Отражённые и уходящие к бесконечности: фотон может облететь черную дыру на эксцентрических траекториях.

Прецессия орбит и наблюдаемые эффекты

  1. Перицентрическая прецессия: смещение ближайшей точки орбиты в направлении движения частицы.
  2. Нодальная прецессия: вращение плоскости орбиты вокруг оси черной дыры.
  3. Сдвиг гравитационного линзирования: фотонные траектории излучаемые от аккреционного диска искривляются, создавая кольца Эйнштейна и «тень» черной дыры.

Эти эффекты являются фундаментальными для интерпретации наблюдаемых изображений, полученных, например, Event Horizon Telescope.

Классификация движений

Движение в поле вращающейся черной дыры можно классифицировать по следующим признакам:

  • Направление орбиты: про- и ретроградные относительно вращения чёрной дыры.
  • Стационарность: устойчивые круговые орбиты, квазистационарные, неустойчивые.
  • Тип объекта: массивные частицы или фотонные траектории.
  • Энергетические состояния: свободное падение с E < 1 или E > 1 для удалённого наблюдателя.
Оглавление