Понятие увлечённой системы отсчёта
В общей теории относительности наблюдается принципиальное отличие от ньютоновской механики: движение объектов во внешнем гравитационном поле зависит не только от силы тяжести, но и от кривизны пространства-времени, создаваемой массой. Вблизи вращающихся чёрных дыр (например, описываемых метрикой Керра) возникает особый эффект — увлечение системы отсчёта (frame-dragging). Этот эффект проявляется как вращение локального пространства-времени вокруг массивного вращающегося объекта, что приводит к тому, что свободно падающие частицы вынуждены двигаться по траекториям, «скрученным» вращением чёрной дыры.
В классическом приближении ньютоновской механики такая ситуация не возникает: пространство считается фиксированным, а движение частиц определяется только гравитационными силами. В ОТО же влияние вращения на геометрию пространства становится существенным, особенно вблизи горизонта событий.
Метрическая структура вращающейся чёрной дыры
Для вращающейся чёрной дыры Керра метрика в сферических координатах (t, r, θ, ϕ) имеет вид:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2Mr}{\Sigma}\right) dt^2 - \frac{4Mar \sin^2 \theta}{\Sigma} dt d\phi + \frac{\Sigma}{\Delta} dr^2 + \Sigma d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2Ma^2 r \sin^2\theta}{\Sigma}\right)\sin^2 \theta d\phi^2, $$
где
$$ \Sigma = r^2 + a^2 \cos^2 \theta, \quad \Delta = r^2 - 2Mr + a^2, \quad a = \frac{J}{M}. $$
Ключевой компонент, отвечающий за увлечение системы отсчёта, — смешанный член $g_{t\phi} = -\frac{2Mar \sin^2 \theta}{\Sigma}$. Именно он создаёт эффект вращения локального пространства вокруг оси вращения дыры.
Физическая интерпретация
Эффект увлечения проявляется в том, что даже частицы с нулевым угловым моментом относительно удалённого наблюдателя вынуждены вращаться в направлении вращения чёрной дыры. Часто используют понятие угловой скорости увлечения ω, определяемой как:
$$ \omega = -\frac{g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}}. $$
Эта величина показывает скорость вращения локального пространства-времени относительно «бесконечно удалённого» наблюдателя. Вблизи горизонта событий ω → ΩH, где ΩH — угловая скорость вращения горизонта.
Простейшая аналогия: представьте, что пространство вокруг дыры — это вязкая жидкость. Любой объект, находящийся вблизи дыры, «подхватывается» этой жидкостью и начинает вращаться вместе с ней.
Эргосфера и её связь с увлечением
Эргосфера — область за пределами горизонта событий, где невозможно оставаться неподвижным относительно удалённого наблюдателя. Граница эргосферы определяется как поверхность, где gtt = 0:
$$ r_{\rm ergo}(\theta) = M + \sqrt{M^2 - a^2 \cos^2\theta}. $$
Внутри эргосферы все свободные частицы вынуждены вращаться в направлении дыры из-за эффекта увлечения. Это приводит к возможности экстракции энергии из вращения чёрной дыры, например, через процесс Пенроуза: частица, распавшаяся внутри эргосферы, может передать отрицательную энергию чёрной дыре, а другая часть при этом вылететь с увеличенной энергией.
Уравнения движения частиц
Для частиц и фотонов в метрике Керра можно использовать лагранжиан:
2ℒ = gμνẋμẋν.
Из симметрии метрики (независимость от t и ϕ) вытекают сохранения энергии E и углового момента L:
E = −pt = −gttṫ − gtϕϕ̇, L = pϕ = gtϕṫ + gϕϕϕ̇.
Из этих уравнений можно выразить скорость вращения частицы $\frac{d\phi}{dt}$ как:
$$ \frac{d\phi}{dt} = \frac{g_{t\phi} E + g_{tt} L}{g_{\phi\phi} E + g_{t\phi} L}. $$
Для частиц с L = 0 получаем чистую угловую скорость увлечения:
$$ \frac{d\phi}{dt} = \omega = -\frac{g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}}. $$
Это иллюстрирует, что даже без собственного вращения частица движется по круговой траектории, «завернутой» вращением дыры.
Эффект на орбиты и наблюдения
Предельные орбиты: Увлечение влияет на радиусы последней устойчивой орбиты (ISCO). Для частиц, вращающихся по направлению к вращению дыры, ISCO сдвигается ближе к горизонту; для противодействующих — дальше.
Линзирование и гравитационный доплер: Свет, проходящий через регион увлечения, испытывает дополнительное искривление траектории и смещение частоты.
Астрофизические проявления: Увлечение системы отсчёта играет ключевую роль в формировании джетов в активных ядрах галактик и аккреционных дисков, создавая направление вращения плазмы и распределение энергии.
Ключевые моменты
Эффект увлечения является не просто теоретическим предсказанием, а реально наблюдаемым феноменом, оказывающим ключевое влияние на динамику материи и излучения вблизи вращающихся чёрных дыр.