Энтропия запутанности

Энтропия запутанности — фундаментальное понятие квантовой теории поля и квантовой гравитации, связывающее информационное содержание квантовой системы с геометрией пространства-времени. В контексте чёрных дыр она играет ключевую роль в понимании микроструктуры горизонта событий и механизма формирования энтропии Хокинга.

1. Определение и физическая интерпретация

Энтропия запутанности Sent характеризует степень квантовой корреляции между двумя подсистемами A и B в едином квантовом состоянии |Ψ⟩. Для системы с полной плотностной матрицей ρ энтропия запутанности подсистемы A определяется через редуцированную плотностную матрицу ρA = TrB ρ:

Sent(A) = −Tr (ρA ln ρA).

Ключевой момент: даже если полная система находится в чистом состоянии |Ψ⟩, отдельная подсистема может обладать ненулевой энтропией за счёт квантовой запутанности с другой подсистемой.

В контексте чёрных дыр часто рассматривается разбиение на внутреннюю и внешнюю области относительно горизонта событий. В этом случае энтропия запутанности становится мерой того, сколько информации об электромагнитных или гравитационных полях «скрыто» за горизонтом.

2. Энтропия Хокинга и связь с запутанностью

Термодинамическая энтропия чёрной дыры, согласно работам Бекенштейна и Хокинга, пропорциональна площади горизонта A:

$$ S_{\text{BH}} = \frac{k_B c^3}{4 \hbar G} \, A. $$

Современные подходы связывают SBH с энтропией запутанности квантовых полей:

  1. Рассматривается квантовое поле в статическом гравитационном фоне чёрной дыры.
  2. Пространство разделяется горизонтом на внешнюю и внутреннюю области.
  3. Редуцированная плотностная матрица для внешней области даёт энтропию запутанности, которая оказывается пропорциональной площади горизонта, с ведущей квадратичной зависимостью от ультрафиолетового (UV) среза:

$$ S_{\text{ent}} \sim \frac{\text{Area}}{\epsilon^2}. $$

Ключевой момент: этот результат демонстрирует, что микроскопическая природа энтропии чёрной дыры может быть объяснена как чисто квантовая эффект запутанности.

3. Методы вычисления энтропии запутанности

Существуют несколько подходов к вычислению Sent для полей вблизи горизонта:

  1. Метод реплик (Replica Trick)

    Энтропия запутанности выражается через след степеней редуцированной плотностной матрицы:

    $$ S_{\text{ent}} = - \lim_{n \to 1} \frac{\partial}{\partial n} \mathrm{Tr} \, (\rho_A^n). $$

    Этот метод позволяет свести задачу к вычислению функционального интеграла по многокопийной (replica) геометрии.

  2. Ковариантные методы и геометрические формулы

    В теориях с гравитацией с анти-де Ситтеровской (AdS) асимптотикой используется формула Рюденгейма–Така:

    $$ S_{\text{ent}}(A) = \frac{\text{Area}(\gamma_A)}{4 G \hbar}, $$

    где γA — минимальная поверхность в объёме AdS, ограниченная краем области A.

  3. Латтисные и численные методы

    Для простых моделей квантовой теории поля на решётке вычисляется плотностная матрица и её спектр для заданной подсистемы, что позволяет получить энтропию запутанности напрямую.

Ключевой момент: все эти методы подтверждают универсальность зависимости энтропии от площади границы раздела, а не от объёма подсистемы — это принципиально важно для чёрных дыр.

4. Ультрафиолетовые расходимости и регуляризация

Энтропия запутанности в квантовых полях обычно содержит UV-расходимость, обусловленную бесконечным числом степеней свободы на бесконечно малой шкале. Вблизи горизонта она имеет вид:

$$ S_{\text{ent}} \sim \frac{\alpha A}{\epsilon^2} + \text{слабее расходящиеся члены}, $$

где ϵ — UV-срез, а α зависит от конкретного поля и его спина.

Ключевой момент: хотя такая расходимость требует регуляризации, коэффициент перед площадью горизонта демонстрирует универсальность, что согласуется с формулой Бекенштейна–Хокинга.

5. Энтропия запутанности и информационный парадокс

Одним из фундаментальных приложений энтропии запутанности является исследование информационного парадокса чёрных дыр:

  • Излучение Хокинга образует квантово запутанное состояние между радиацией и внутренними степенями свободы.
  • Если чёрная дыра полностью испаряется, возникает вопрос: куда деется информация?
  • Энтропия запутанности позволяет количественно описать рост и спад энтропии радиации во времени, формируя кривую Page curve, которая согласуется с принципами унитарности квантовой механики.

Ключевой момент: теория энтропии запутанности является центральной для современных моделей унитарного испарения чёрных дыр и построения гипотез о микроструктуре горизонта, таких как ER=EPR и квантовые экстремальные поверхности (Quantum Extremal Surfaces, QES).

6. Связь с голографическим принципом

Энтропия запутанности тесно связана с голографическим принципом, согласно которому вся информация о гравитационном объёме может быть закодирована на его границе. В частности:

  • Формула Ryu–Takayanagi связывает энтропию запутанности области A с минимальной поверхностью в AdS-пространстве.
  • Этот подход обеспечивает количественный инструмент для проверки соответствия между квантовой теорией поля на границе и гравитацией в объёме, что позволяет изучать микроструктуру чёрных дыр на основе запутанности.

Ключевой момент: энтропия запутанности является мостом между квантовой информацией и геометрией пространства-времени.

Оглавление