f(R) гравитация и чёрные дыры

Основы f(R)-гравитации

f(R)-гравитация представляет собой обобщение общей теории относительности (ОТО), где лагранжиан для гравитационного поля заменяется на произвольную функцию скалярной кривизны R:

$$ S = \frac{1}{2\kappa^2} \int d^4x \sqrt{-g} \, f(R) + S_\text{материя}, $$

где κ² = 8πG, g — детерминант метрики, а S_{материя} — действие для вещества. Такой подход позволяет описывать широкий спектр физических явлений, включая космологическую инфляцию, темную энергию и аномалии в динамике галактик без введения темной материи.

Уравнения поля в f(R)-гравитации получаются вариацией действия по метрике g_μν:

$$ f_R(R) R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} f(R) g_{\mu\nu} + \big( g_{\mu\nu} \Box - \nabla_\mu \nabla_\nu \big) f_R(R) = \kappa^2 T_{\mu\nu}, $$

где $f_R(R) \equiv \frac{df}{dR}$, □ = g^αβ∇_α∇_β — оператор Д’Аламбера, а T_μν — тензор энергии-импульса материи. В отличие от стандартной ОТО, эти уравнения являются четвертого порядка по производным метрики, что приводит к богатой структуре решений, включая новые типы чёрных дыр.

Статические решения: spherically symmetric black holes

Для сферически симметричной метрики вида

ds² = −e^2ϕ(r)dt² + e^2λ(r)dr² + r²dΩ²,

где dΩ² — метрическая форма двухсферы, уравнения f(R)-гравитации приводят к сложной системе нелинейных дифференциальных уравнений. В простейших случаях, когда R = const, решение может быть представлено как обобщение метрики Шварцшильда–дез Ситтера:

$$ ds^2 = -\left( 1 - \frac{2GM}{r} - \frac{\Lambda_\text{eff} r^2}{3} \right) dt^2 + \left( 1 - \frac{2GM}{r} - \frac{\Lambda_\text{eff} r^2}{3} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2, $$

где эффективная космологическая постоянная Λ_eff возникает из функциональной формы f(R). Таким образом, чёрные дыры в f(R)-гравитации могут иметь модифицированные горизонты, отличные от стандартных решений ОТО.

Термины и классификация чёрных дыр в f(R)-гравитации

• Чёрные дыры Шварцшильда–f(R): аналог решения Шварцшильда с модифицированной кривизной; горизонты определяются алгебраическим уравнением, зависящим от параметров функции f(R).
• Ротирующие решения (Kerr–f(R)): в общем случае вращения метрика усложняется, а модификация кривизны может влиять на геометрию эргосферы и структуру кольца фотонов.
• Экзотические решения: возможны решения с «черепаховыми» структурами горизонтов или с дополнительными скрытыми степенями свободы, связанными с скалярной кривизной R.

Квантовые и термодинамические аспекты

Термодинамика чёрных дыр в f(R)-гравитации может существенно отличаться от классической:

$$ S = \frac{A}{4G} f_R(R_h), $$

где R_h — скалярная кривизна на горизонте, а A — площадь горизонта. Этот результат показывает, что энтропия зависит не только от площади, но и от локальной кривизны, что открывает новые пути для исследований квантовой гравитации.

Температура Хокинга определяется обычным образом через поверхностное ускорение κ:

$$ T_H = \frac{\kappa}{2 \pi} = \frac{1}{4\pi} \left. \frac{d g_{tt}}{dr} \right|_{r=r_h}. $$

Однако κ теперь зависит от модификаций функции f(R), что влияет на испарение чёрной дыры и динамику аккреционных процессов.

Скалярные степени свободы и стабильность

f(R)-гравитация эквивалентна теории ОТО с дополнительным скалярным полем ϕ ∼ f_R(R), взаимодействующим с метрикой. Уравнение движения скалярного поля:

3□f_R(R) + Rf_R(R) − 2f(R) = κ²T,

обеспечивает динамическую эволюцию скалярного компонента. Стабильность чёрных дыр проверяется через линейные возмущения метрики и скалярного поля. В зависимости от формы f(R), решения могут быть устойчивыми или иметь моды тяготения, ведущие к экспоненциальному росту возмущений.

Астрофизические последствия

• Модификация кривизны и горизонтов: может менять релятивистские эффекты, такие как гравитационное линзирование, сдвиг линий спектра и динамику аккреции.
• Испарение чёрных дыр: зависимость температуры Хокинга от f_R(R_h) изменяет скорость потери массы.
• Космологические чёрные дыры: в условиях расширяющейся Вселенной с эффективной Λ_eff их динамика и эволюция отличаются от классических решений.

Заключение математического подхода

Решения чёрных дыр в f(R)-гравитации являются богатым полем исследования: их аналитическая структура сложнее, чем в ОТО, и зависит от конкретной формы функции f(R). Изучение этих решений позволяет глубже понять влияние модифицированной кривизны на геометрию пространства-времени, термодинамику чёрных дыр и возможные квантовые эффекты.