Квадрупольная формула является ключевым инструментом в теории гравитационных волн и описывает излучение гравитационной энергии массивными телами с переменной массой. Она возникает как результат линейного приближения уравнений Эйнштейна в слабополевой области и позволяет количественно оценивать мощность излучаемой энергии.
В отличие от электромагнитного излучения, которое может быть дипольным, гравитационное излучение не имеет дипольной компоненты из-за строгого сохранения импульса и массы. Наиболее простой ненулевой мультипольный член – квадрупольный, связанный с несимметричным распределением массы и её движением.
Фундаментальная форма квадрупольной формулы для мощности излучения P выглядит следующим образом:
$$ P = \frac{G}{5c^5} \left\langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}^{ij} \right\rangle, $$
где G – гравитационная постоянная, c – скорость света, Qij – тензор масс-квадруполя системы, тройная точка обозначает третью производную по времени, а скобки ⟨...⟩ означают усреднение по времени.
Массовый квадрупольный тензор Qij для системы дискретных тел с массами ma и координатами xai определяется как:
$$ Q_{ij} = \sum_a m_a \left( x_a^i x_a^j - \frac{1}{3} \delta_{ij} r_a^2 \right), $$
где ra2 = xakxak, а δij – символ Кронекера. В случае сплошной массы с плотностью ρ(x) выражение преобразуется в интеграл:
$$ Q_{ij} = \int \rho(\mathbf{x}) \left( x_i x_j - \frac{1}{3} \delta_{ij} r^2 \right) d^3x. $$
Ключевой особенностью квадрупольного тензора является его симметрия и нуль-трассовость: Qii = 0.
Для бинарной системы масс m1 и m2, вращающихся вокруг общего центра масс на круговой орбите радиуса a, можно выразить тензор квадруполя через относительные координаты:
$$ Q_{ij} = \mu \left( x_i x_j - \frac{1}{3} \delta_{ij} r^2 \right), $$
где $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ – редуцированная масса, x = x1 − x2 – радиус-вектор между телами. При круговой орбите мощность излучения определяется формулой Питерса–Маттса:
$$ P = \frac{32}{5} \frac{G^4}{c^5} \frac{(m_1 m_2)^2 (m_1 + m_2)}{a^5}. $$
Эта зависимость демонстрирует сильное влияние расстояния между телами на интенсивность гравитационного излучения: при уменьшении a энергия рассеивается значительно быстрее.
Излучение гравитационных волн приводит к уменьшению орбитального периода и радиуса орбиты бинарной системы. Скорость изменения радиуса определяется как:
$$ \frac{da}{dt} = - \frac{64}{5} \frac{G^3}{c^5} \frac{m_1 m_2 (m_1 + m_2)}{a^3}. $$
Со временем это приводит к постепенному сближению тел и возможному слиянию, что наблюдается в системах двойных нейтронных звезд и черных дыр.
Для эллиптических орбит мощность излучения усредняется по периоду, и квадрупольная формула принимает вид:
$$ \langle P \rangle = \frac{32}{5} \frac{G^4}{c^5} \frac{(m_1 m_2)^2 (m_1 + m_2)}{a^5 (1 - e^2)^{7/2}} \left( 1 + \frac{73}{24} e^2 + \frac{37}{96} e^4 \right), $$
где e – эксцентриситет орбиты. Эта формула учитывает увеличение излучения при эллиптической орбите за счет периодического сближения тел.
Квадрупольная формула справедлива в слабом гравитационном поле и при малых скоростях относительно скорости света (v ≪ c). Для систем с более высокими скоростями необходимы постньютоновские поправки, включающие эффекты кривизны пространства-времени и радиационной реакции на орбиту.
В квазистационарном приближении можно рассматривать изменение орбиты как медленное, что позволяет использовать усредненные формулы для мощности излучения и скорости сближения тел. Этот подход лежит в основе моделирования сигналов гравитационных волн, регистрируемых детекторами типа LIGO и Virgo.
Квадрупольная формула является основным инструментом для прогнозирования гравитационного излучения от бинарных черных дыр. Она позволяет оценить:
Формула является фундаментальной для построения моделей, соединяющих наблюдаемые сигналы с физическими параметрами черных дыр и другими компактными объектами.