Классическая теория гравитации в рамках общей теории относительности описывает чёрные дыры через точные решения уравнений Эйнштейна, такие как метрика Шварцшильда, Рейснера–Нордстрёма или Керра. Эти решения хорошо описывают гравитационное поле вне сингулярности и горизонта событий, однако они не учитывают квантовые эффекты, которые становятся критическими при малых масштабах или больших кривизнах. Квантовые поправки к классическим решениям вводятся через различные подходы квантовой гравитации и квантовой теории поля на кривой пространственно-временной.
Квантовая теория поля вблизи горизонта чёрной дыры позволяет учесть эффекты виртуальных частиц и вакуумных флуктуаций. Основной инструмент здесь — регуляризация и перенормировка тензора энергии-импульса ⟨Tμν⟩, который действует как источник дополнительного гравитационного поля:
Gμν + Λgμν = 8πG⟨Tμν⟩.
Ключевой момент: ⟨Tμν⟩ вблизи горизонта чёрной дыры не исчезает даже в вакууме, что приводит к квантовым поправкам к метрике и может быть связано с эффектом Хокинга.
Эффективная метрика, учитывающая квантовые поправки, может быть записана как
gμνэфф = gμνкласс + ℏ hμν(1) + ℏ2 hμν(2) + …,
где hμν(n) — последовательные квантовые поправки. Эти поправки вносят изменения в:
При рассмотрении метрики Шварцшильда квантовая поправка первого порядка может привести к уменьшению радиуса горизонта на величину порядка $\Delta r_h \sim \frac{\hbar}{M}$.
Квантовые эффекты влияют на термодинамику чёрных дыр. Энтропия Бекенштейна–Хокинга
$$ S_{BH} = \frac{k_B c^3 A}{4 G \hbar} $$
получает квантовые поправки, обычно представляемые в виде логарифмических слагаемых:
$$ S = S_{BH} + \alpha \ln S_{BH} + \beta \frac{1}{S_{BH}} + \dots $$
где α и β зависят от конкретной модели квантовой гравитации. Эти поправки имеют важное значение при малых масcах чёрных дыр, когда квантовые эффекты становятся сопоставимы с классическими величинами.
В случае вращающихся и заряженных чёрных дыр квантовые поправки усложняют структуру горизонтов. Для метрики Керра эффективная метрика с поправками может быть записана через модификацию функции Δ(r):
Δ(r) = r2 − 2GMr + a2 + ℏ f1(r) + …
где a — параметр вращения. Эти поправки могут изменять внутреннюю структуру горизонтов и смягчать центральную сингулярность, создавая потенциально конечную кривизну в центре.
Для заряженных чёрных дыр (Рейснер–Нордстрём) квантовые поправки влияют на уравновешивание электростатического и гравитационного полей, что может приводить к эффекту «размытой» сингулярности.
Квантовые поправки тесно связаны с микроскопической структурой чёрных дыр. В рамках подхода энтропии запутанности и голографических принципов считается, что каждая точка горизонта содержит микросостояния, число которых определяется тензором ⟨Tμν⟩ и квантовыми флуктуациями:
δS ∼ Tr(ρln ρ)
Эти флуктуации приводят к динамическому изменению площади горизонта и к возможному микроскопическому обмену энергией между чёрной дырой и внешним пространством.