В контексте теории струн и квантовой гравитации важное место занимает соответствие AdS/CFT (антиде Ситтер/конформная теория поля). Эта двойственность утверждает, что динамика гравитационных систем в пространстве с отрицательной кривизной (AdS) эквивалентна конформной теории поля на границе этого пространства. Для чёрных дыр это означает, что термодинамика и квантовые свойства гравитационного объекта могут быть полностью описаны с помощью полевой теории без гравитации на границе.
Рассмотрим многомерное пространство AdSd + 1 с метрикой:
$$ ds^2 = -\left(1 + \frac{r^2}{L^2} - \frac{\mu}{r^{d-2}}\right) dt^2 + \frac{dr^2}{1 + \frac{r^2}{L^2} - \frac{\mu}{r^{d-2}}} + r^2 d\Omega_{d-1}^2, $$
где L — радиус кривизны антиде Ситтера, μ — параметр, связанный с массой чёрной дыры, dΩd − 12 — метрика единичной (d − 1)-мерной сферы. Горизонт чёрной дыры rh определяется условием gtt(rh) = 0.
Ключевой момент: через соответствие AdS/CFT термодинамические характеристики чёрной дыры (масса, энтропия, температура) можно интерпретировать как свойства конформной теории на границе AdS.
Температура Хокинга чёрной дыры в AdSd + 1 определяется стандартным выражением:
$$ T_H = \frac{1}{4\pi} \left. \frac{d}{dr} g_{tt}(r) \right|_{r=r_h} = \frac{1}{4\pi} \left( \frac{(d-2)\mu}{r_h^{d-1}} + \frac{2 r_h}{L^2} \right), $$
а энтропия через площадь горизонта:
$$ S = \frac{A}{4 G_{d+1}} = \frac{\Omega_{d-1} r_h^{d-1}}{4 G_{d+1}}. $$
Ключевой момент: в рамках AdS/CFT энтропия чёрной дыры соответствует количеству степеней свободы конформной теории на границе. Это позволяет исследовать микроскопическую статистику чёрных дыр через CFT.
Голографический принцип утверждает, что вся информация, содержащаяся в объёме пространства, может быть закодирована на его границе. Для AdS-чёрных дыр это означает, что термодинамика и квантовые флуктуации в d + 1 измерениях могут быть описаны с помощью d-мерной CFT.
Пример: BTZ-чёрная дыра в AdS3
Метрика BTZ-чёрной дыры (3D AdS) записывается как:
$$ ds^2 = -\left(-M + \frac{r^2}{L^2}\right) dt^2 + \frac{dr^2}{-M + \frac{r^2}{L^2}} + r^2 d\phi^2, $$
где M — масса чёрной дыры. Температура:
$$ T_H = \frac{r_h}{2 \pi L^2}, \quad r_h = L \sqrt{M}. $$
Энтропия:
$$ S = \frac{2 \pi r_h}{4 G_3} = \frac{\pi L \sqrt{M}}{2 G_3}. $$
Через AdS/CFT энтропия BTZ-чёрной дыры совпадает с результатом Кардаса для двухмерной конформной теории с центральным зарядом $c = \frac{3L}{2G_3}$.
Аддитивные квантовые эффекты, такие как флуктуации метрического поля и квантовые возмущения, в термодинамике AdS-чёрных дыр проявляются как коррекции к энтропии и температуре. В рамках AdS/CFT это интерпретируется как 1/N-коррекции в конформной теории, где N — число цветов в SU(N) или другой структуре.
Ключевой момент: соответствие AdS/CFT предоставляет инструмент для изучения микроскопической структуры чёрных дыр, что невозможно сделать напрямую в гравитации.
Чёрные дыры в AdS показывают богатую фазовую структуру, аналогичную фазовым переходам в термодинамике конденсированных сред. Пример — переход Хокинга–Пейджа:
Через AdS/CFT это интерпретируется как фазовый переход в конформной теории на границе, что позволяет анализировать фазовые переходы в сильно взаимодействующих квантовых системах с помощью классической гравитации.
Эта двойственность позволяет использовать математически управляемую конформную теорию для исследования крайне сложной динамики гравитации вблизи горизонта чёрной дыры, связывая классическую гравитацию с квантовыми системами на границе пространства.