Бекенштейн-Хокинговская энтропия
В начале 1970-х годов Яков Бекенштейн выдвинул гипотезу, согласно которой чёрные дыры обладают энтропией, пропорциональной площади их горизонта событий. Это утверждение казалось радикальным, поскольку, согласно классической общей теории относительности, чёрные дыры полностью характеризуются всего несколькими параметрами (масса, заряд, угловой момент) и не содержат информации о микросостояниях. Тем не менее, аналогии с термодинамикой — прежде всего «первый закон механики чёрных дыр» — подсказывали существование глубокой связи между термодинамическими величинами и гравитацией.
Позднее Стивен Хокинг, применив методы квантовой теории полей на фоне искривлённого пространства-времени, продемонстрировал, что чёрные дыры действительно излучают тепловой спектр с определённой температурой, теперь известной как температура Хокинга. Это открытие закрепило концепцию энтропии чёрных дыр как физической реальности.
Формула Бекенштейна–Хокинга для энтропии чёрной дыры:
$$ S = \frac{k c^3 A}{4 G \hbar} $$
где:
Это выражение показывает, что энтропия чёрной дыры не пропорциональна объёму, как в обычных термодинамических системах, а площади горизонта событий, что указывает на голографическую природу фундаментальной физики.
Температура Хокинга
Температура, ассоциированная с чёрной дырой массой M, определяется выражением:
$$ T = \frac{\hbar c^3}{8\pi G M k} $$
Она обратно пропорциональна массе, что приводит к фундаментальному выводу: чем меньше чёрная дыра, тем выше её температура. В пределе микроскопических чёрных дыр температурный эффект усиливается, и они излучают интенсивнее, что ведёт к испарению чёрной дыры — квантово-гравитационному процессу, не описываемому полностью в рамках стандартной квантовой теории поля или ОТО.
Законы механики чёрных дыр и термодинамика
Существует глубокое соответствие между законами механики чёрных дыр и законами термодинамики:
| Закон термодинамики | Эквивалент в механике чёрных дыр |
|---|---|
| 0-й закон: Температура одинакова в терм. равновесии | Поверхностная гравитация одинакова на горизонте |
| 1-й закон: dE = TdS − pdV + … | $dM = \frac{\kappa}{8\pi G} dA + \ldots$ |
| 2-й закон: Энтропия не убывает | Теорема об увеличении площади |
| 3-й закон: Достижение нуля температуры невозможно | Невозможно достичь нулевой поверхностной гравитации |
Здесь κ — поверхностная гравитация на горизонте, аналог температуры, а A — площадь горизонта.
Информационный парадокс
Поскольку энтропия отражает количество микросостояний, наличие конечной энтропии у чёрной дыры означает существование огромного числа квантовых состояний, которые порождают геометрию с данным макроскопическим горизонтом. Однако, если чёрная дыра испаряется путём излучения Хокинга, это излучение, согласно исходному расчёту, является термальным — оно не несёт информацию о том, что упало в чёрную дыру. Возникает информационный парадокс, заключающийся в нарушении унитарности квантовой механики.
Одна из возможных интерпретаций: информация на самом деле сохраняется, но закодирована в тонких квантовых корреляциях в излучении Хокинга. Другие предложения включают модели с остатками (remnants), модификации горизонта событий (файерволлы), или вовсе замену классической геометрии микроскопической квантовой структурой.
Голографический принцип
Наблюдение, что энтропия чёрной дыры пропорциональна площади горизонта, а не объёму, привело к формулировке голографического принципа, наиболее ярко реализованного в соответствии АдС/КХТ (AdS/CFT correspondence). Согласно этой гипотезе, полное описание гравитационной теории в (d+1)-мерном объёме эквивалентно квантовой теории без гравитации на d-мерной границе этого объёма.
Это принципиально меняет представления о природе пространства, времени и информации в квантовой гравитации, утверждая, что полное описание физических процессов внутри объёма можно задать через теорию на его поверхности.
Микросостояния и энтропия в струнной теории
В рамках струнной теории удалось независимо восстановить формулу Бекенштейна–Хокинга для определённых классов экстремальных и почти экстремальных чёрных дыр, путём подсчёта микроскопических конфигураций D-бран. Например, работа Строминджера и Ваффа (1996) показала, что число микросостояний системы D1-D5 точно даёт ту же энтропию, что и площадь соответствующей чёрной дыры.
Это достижение — редкий случай, когда теория квантовой гравитации даёт конкретный количественный результат, подтверждающий макроскопическую формулу.
Квантовая коррекция к энтропии
Формула Бекенштейна–Хокинга — это ведущий вклад в энтропию. Квантовые флуктуации и эффекты конечного размера вносят логарифмические и другие поправки к энтропии. Обобщённая формула имеет вид:
$$ S = \frac{A}{4 G \hbar} + \alpha \ln\left(\frac{A}{G \hbar}\right) + \cdots $$
где коэффициент α зависит от конкретной теории и типа чёрной дыры. Эти поправки важны при рассмотрении микрочёрных дыр и в анализе испарения чёрной дыры в поздние стадии.
Обобщённая энтропия и обобщённый второй закон
Для корректного учёта термодинамики в присутствии чёрной дыры необходимо использовать обобщённую энтропию, которая включает в себя сумму энтропии материи вне чёрной дыры и энтропии горизонта:
$$ S_{\text{total}} = S_{\text{вне}} + \frac{A}{4 G \hbar} $$
Сформулирован обобщённый второй закон термодинамики: эта сумма не убывает во времени. Он играет роль критерия допустимости процессов в квантово-гравитационной динамике и рассматривается как один из принципов будущей полной теории квантовой гравитации.
Энтропия в петлевой квантовой гравитации
В рамках петлевой квантовой гравитации (LQG) предложен независимый способ вычисления энтропии чёрной дыры, основанный на квантовании поверхностей горизонта. Здесь используются спиновые сети, пересекающие горизонт, и подсчитывается количество возможных квантовых конфигураций, соответствующих заданной площади. Результат приводит к той же формуле Бекенштейна–Хокинга при определённом выборе параметра Барберо–Иммирци, что подтверждает универсальность энтропии как фундаментальной характеристики.
Энтропия как мера информации
Энтропия чёрной дыры рассматривается не только как термодинамическая величина, но и как мерило потери информации о состоянии материи, поглощённой чёрной дырой. Этот подход приводит к пересмотру самого понятия энтропии в квантово-гравитационном контексте и стимулирует активные исследования в смежных направлениях: теория информации в гравитации, квантовая декогеренция, негаэнтропия и энтанглмент.
Роль энтропии в космологии и квантовой структуре пространства-времени
Понятие энтропии горизонта расширяется на другие классы горизонтов — космологические (например, горизонт в пространстве де Ситтера) и ускоренные (как у наблюдателя Риндлера). Это указывает на универсальность термодинамического подхода к гравитации. Принципиальное значение имеет связь между энтропией и уравнениями Эйнштейна: в работах Якобсона и др. показано, что сами уравнения ОТО могут быть выведены как уравнение состояния в энтропийной термодинамике. Таким образом, энтропия горизонта становится фундаментальной величиной, определяющей геометрию пространства-времени.