Принцип калибровочной инвариантности (или калибровочной симметрии) лежит в основе современных теорий взаимодействий элементарных частиц. Он утверждает, что законы физики не изменяются при локальных преобразованиях фаз или более общих преобразованиях, относящихся к некоторой группе симметрии. Иными словами, если волновая функция частицы подвергается локальному преобразованию, зависящему от координат, то физическая теория должна оставаться инвариантной при этом преобразовании. Это требование влечёт за собой введение дополнительных полей — калибровочных полей, которые и оказываются носителями взаимодействий.
Принцип калибровочной инвариантности формализует глубокую связь между симметриями и фундаментальными взаимодействиями, обеспечивая построение Лагранжиана, согласованного с наблюдаемыми законами сохранения и внутренними симметриями.
Глобальная симметрия — это симметрия, при которой преобразование параметров (например, фазы волновой функции) не зависит от координат. Для примера рассмотрим глобальное преобразование:
ψ(x) → ψ′(x) = eiαψ(x),
где α — константа. Такой симметрии соответствует закон сохранения тока, например, сохранение электрического заряда в случае группы U(1).
Локальная симметрия (или калибровочная симметрия) требует, чтобы параметр преобразования зависел от координаты:
ψ(x) → ψ′(x) = eiα(x)ψ(x).
В этом случае обычная производная ∂μ перестаёт быть ковариантной. Чтобы восстановить инвариантность, необходимо ввести калибровочное поле Aμ(x) и заменить обычную производную на ковариантную производную:
Dμ = ∂μ + ieAμ(x).
При этом Aμ(x) должно также трансформироваться определённым образом:
$$ A_\mu(x) \rightarrow A'_\mu(x) = A_\mu(x) - \frac{1}{e} \partial_\mu \alpha(x), $$
что обеспечивает инвариантность лагранжиана под действием локальной группы U(1). Таким образом, требование калибровочной инвариантности приводит к появлению калибровочного поля, которое можно интерпретировать как квант поля взаимодействия — фотон в случае U(1).
Требование калибровочной инвариантности формирует структуру взаимодействия между полями материи и калибровочными полями. Минимальное взаимодействие реализуется путём замены производной в лагранжиане поля на ковариантную производную, которая содержит калибровочное поле.
Для группы U(1), описывающей электромагнитное взаимодействие:
$$ \mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, $$
где Fμν = ∂μAν − ∂νAμ — тензор электромагнитного поля. Эта конструкция автоматически обеспечивает сохранение электрического заряда и описание электромагнитного взаимодействия через обмен фотонами.
Калибровочные группы могут быть неабелевыми, т.е. элементами непрокоммутативных групп, например, SU(2), SU(3). Такие группы соответствуют слабому и сильному взаимодействиям.
В отличие от U(1), где тензор поля Fμν содержит только производные поля Aμ, в неабелевых теориях (например, для группы SU(N)) тензор поля приобретает дополнительный член:
Fμνa = ∂μAνa − ∂νAμa + gfabcAμbAνc,
где fabc — структуры постоянной группы Ли, g — константа связи, а Aμa — калибровочные поля, соответствующие генераторам группы.
Важное следствие: нелинейность тензора поля ведёт к самодействию калибровочных бозонов, т.е. в отличие от фотонов (взаимодействие U(1)), глюоны SU(3) и бозоны W±, Z в SU(2) участвуют в собственном взаимодействии.
Электромагнитное взаимодействие описывается калибровочной теорией с группой U(1)em. Оно возникает как подгруппа более широкой группы SU(2)L × U(1)Y, соответствующей электрослабому взаимодействию.
Слабое взаимодействие основано на группе SU(2)L. Три соответствующих калибровочных бозона Wμ1, Wμ2, Wμ3 образуют матрицу калибровочных полей. После спонтанного нарушения симметрии Хиггсовским механизмом они дают физические бозоны W± и Z0.
Сильное взаимодействие реализуется через группу SU(3)c, калибровочные поля — глюоны Gμa, a = 1, …, 8. Они участвуют в самодействии, что объясняет конфайнмент и асимптотическую свободу.
Итак, структура Стандартной модели целиком определяется локальной калибровочной симметрией:
SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y.
Каждая калибровочная группа — это компактная непрерывная группа Ли. Основными объектами являются:
Алгебра Ли определяет структуру взаимодействий, включая самодействие калибровочных бозонов.
Построение калибровочно-инвариантного Лагранжиана включает:
Несмотря на классическую калибровочную инвариантность, на квантовом уровне могут возникать аномалии — нарушение симметрий вследствие неинвариантности меры функционального интеграла. Калибровочные аномалии недопустимы, так как они разрушают согласованность теории. Их отсутствие является важнейшим требованием при построении теории.
В Стандартной модели аннулирование аномалий обеспечивается благодаря определённому распределению фермионов по поколениям и представлениям группы. Например, вклад лептонов и кварков в аномалию точно взаимно компенсируется.
Принцип калибровочной инвариантности не просто метод математического построения теории, а фундаментальный физический принцип. Он обязывает вводить поля взаимодействий как необходимое условие локальной симметрии. Все наблюдаемые взаимодействия — электромагнитное, слабое и сильное — возникают как проявления калибровочных симметрий. Массивные бозоны и даже механизм Хиггса также оказываются необходимыми для согласования калибровочной инвариантности с наличием масс.
Калибровочная симметрия остаётся основным ориентиром при построении теорий за пределами Стандартной модели, включая теории великого объединения (GUT) и суперсимметричные расширения.