Общая теория относительности Эйнштейна представляет собой геометрическую теорию гравитации, в которой гравитационное взаимодействие описывается искривлением пространственно-временного континуума. В противоположность этому, квантовая теория полей формулирует фундаментальные взаимодействия в виде обмена квантами соответствующих полей, таких как фотон в электродинамике или глюон в квантовой хромодинамике.
Попытка совместить эти два фундаментальных описания сталкивается с глубокими концептуальными и техническими трудностями. Гравитационное поле, описываемое метрическим тензором, на квантовом уровне должно быть также подвержено флуктуациям, а значит — обладать собственной квантовой природой. Однако такие флуктуации пространства-времени на планковских масштабах ( ∼ 10−35 м) приводят к нарушениям самой структуры пространства и делают стандартные методы квантовой теории полей неприменимыми.
Одной из наиболее фундаментальных проблем является то, что общая теория относительности является нелинейной и фоновой независимой. Пространство-время не фиксировано заранее, как в квантовой теории полей, а динамично, что делает невозможным определение фиксированного фона, необходимого для квантизации полей.
Квантовая теория же требует наличия фиксированной структуры для определения операторов, спектров, норм и т.д. В гравитации, напротив, сама метрика должна быть квантованной величиной, что делает теорию фоново независимой. Следовательно, необходимо построить квантовую теорию, в которой сама геометрия пространства-времени — динамическая и квантовая.
При попытке применить к гравитации методы стандартной квантовой теории полей оказывается, что теория становится несходимой. Классическая теория Эйнштейна, интерпретируемая как эффективная теория поля, содержит бесконечное число ультрафиолетовых расходимостей, не устраняемых конечным числом перенормировок. Это означает, что теория не является перенормируемой. В отличие от КХД или КЭД, где удаётся перенормировать теорию, гравитация требует введения бесконечного числа параметров, и, как следствие, теряет предсказательную силу.
Эти трудности впервые были чётко обозначены при вычислении петлевых поправок в рамках подхода Фейнмана. На уровне одной петли можно устранить расходимости с помощью стандартных приёмов, но уже на двух петлях появляется необходимость вводить новые члены в лагранжиан, нарушающие простую форму уравнений Эйнштейна.
Несмотря на указанные трудности, существует возможность трактовать общую теорию относительности как эффективную квантовую теорию поля, применимую на энергиях, существенно меньших планковской. В этой трактовке теория используется как приближённое описание гравитационного взаимодействия на масштабах, доступных эксперименту, при этом предполагается, что на более высоких энергиях (порядка 1019 ГэВ) существует фундаментальная теория, в которую гравитация входит как низкоэнергетическое предельное приближение.
В рамках этой парадигмы удаётся вычислять поправки к классическому гравитационному взаимодействию (например, квантовые поправки к гравитационному потенциалу Ньютона), однако сама теория остаётся неполной и не может быть продолжена до произвольно высоких энергий.
Ещё одна концептуальная трудность возникает при попытке формулировки квантовой теории в фоново независимой геометрии — проблема времени. В квантовой механике эволюция системы описывается с помощью уравнения Шрёдингера, в котором время — это параметр. Однако в общей теории относительности время является частью динамической метрики и подвержено изменению.
В квантовой гравитации отсутствует глобальное время в привычном смысле, а уравнение Уилера–ДеВитта, которое считается аналогом уравнения Шрёдингера, имеет вид:
ĤΨ[hij] = 0
где Ψ[hij] — волновая функция метрики, а Ĥ — гамильтоновый оператор. Это уравнение не содержит явного времени, что делает затруднительным саму интерпретацию эволюции и квантовой динамики.
Одним из подходов, стремящихся к квантованию гравитации с сохранением фоново-независимого характера, является петлевая квантовая гравитация (ПКГ). Этот подход основывается на формализме переменных Аштекара, в которых гравитационное поле описывается с помощью калибровочных переменных, аналогичных переменным Янга–Миллса. Пространство решений квантовой теории строится на основе т.н. спин-сетей, которые представляют собой дискретные состояния геометрии.
В ПКГ возникает дискретизация геометрических наблюдаемых: операторы площади и объёма имеют дискретный спектр. Таким образом, теория предсказывает существование квантов пространства, что радикально изменяет привычную непрерывную картину.
Петлевая квантовая гравитация предоставляет строго математически сформулированную теорию, однако её физическое содержание, в частности — связь с классической гравитацией в пределе низких энергий и возможность описания динамики, остаются предметом интенсивных исследований.
Другой подход к квантованию гравитации — струнная теория, которая стремится объединить все фундаментальные взаимодействия, включая гравитацию, в рамках единой калибровочной теории, основанной на заменe точечных частиц одномерными струнами. Гравитация в струнной теории возникает автоматически: без дополнительных предположений в спектре струны появляется безмассовый бозон спина-2, интерпретируемый как гравитон.
Струнная теория — ультрафиолетово конечная теория, в отличие от обычной квантовой гравитации. Её консистентность требует сверхсимметрии (в суперструнной теории) и существования дополнительных измерений пространства. Проблема заключается в чрезвычайной сложности теории, наличии огромного числа возможных вакуумов (так называемый “ландшафт теории струн”) и трудности непосредственного получения стандартной модели частиц в низкоэнергетическом пределе.
Существенный прогресс в понимании квантовой гравитации связан с голографическим принципом, согласно которому полная информация о гравитационной системе содержится не в её объёме, а на границе. Это предположение получило конкретную реализацию в соответствии AdS/CFT, сформулированном Мальдасеной, где гравитационная теория в пространстве анти-де Ситтера (AdS) эквивалентна конформной теории поля (CFT) на его границе.
Этот подход позволил изучать квантовую гравитацию в строго определённых условиях и, в частности, применять мощные методы конформной теории поля для анализа гравитационных феноменов, включая микроскопическое описание энтропии чёрных дыр.
Одним из центральных вызовов квантовой гравитации является так называемый парадокс информации в чёрных дырах. Согласно Хокингу, чёрные дыры испаряются за счёт излучения Хокинга, при этом конечным состоянием оказывается тепловой спектр, не несущий информации о начальном состоянии. Это противоречит унитарности квантовой механики.
Этот парадокс стимулировал разработку различных подходов к квантовой гравитации. В струнной теории были получены убедительные аргументы в пользу унитарного испарения чёрных дыр в определённых моделях. В петлевой квантовой гравитации изучаются сценарии разрешения сингулярности и “квантового отскока”, предотвращающего полное исчезновение информации.
Современные подходы к квантовой гравитации всё ещё не достигли окончательной теории. Существует множество нерешённых вопросов: от математической строгости до физической интерпретации результатов. Центральными остаются проблемы:
Работа в этом направлении остаётся краеугольным камнем современной фундаментальной физики.